【leetcode】204. 计数质数( Count Primes )

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题目描述

【leetcode】204. 计数质数( Count Primes )

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例:
输入: 10
输出: 4
解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7

第一次解答

思路
质数是只能被1和本身整除，并且0不是质数。
判断数字k是否是质数，只需要遍历 i $\in$[2, sqrt(k)]，若k不能该区间内的任何一个i整除，则k为质数，否则哪怕有一个i能整出，就是质数。
为什么 i 只遍历到sqrt(k)？因为若有 i>sqrt(k) 能把k整除，设结果为out，则有 k / i = out，余数为0。那么out必定 小于等于sqrt(k)，也就能在[2, sqrt(k)]区间内检测出来，不必遍历超过sqrt(k)。
但是这样写出来还是超时，下面介绍厄拉多塞筛法。
首先得知道算术基本定理：

算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积
$N=P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}......P_n^{a_i}，，这里P_1<P_2<P_3......<P_n均为质数，其中指数a^i是正整数$。

根据这个定理，再讲厄拉多塞筛法。厄拉多塞筛法步骤是：
每找到一个质数p，那么2p, 3p, 4p, … Np都不是质数，不需要再遍历了。直到遍历完区间 [2, sqrt(k)] ，我们就找出了所有的质数。

注意:
注意i*i 溢出

代码：

#include <vector>
class Solution {
public:
    // 判断一个数是否是质数
    bool isPrime(int k){
        // 遍历i从2到sqrt(k)即可判断一个数是否是质数
        for(int i=2; (unsigned int)i*i <= k; ++i){
            if(k%i == 0)
                return false;
        }
        return true;
    }
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> isnot_prime(n, false);
        int count = 0;
        for(int i=2; i<n; ++i){
            if(true == isnot_prime[i] )
                continue;
            if(isPrime(i)){
                count++;
                int j = 2*i;
                while(j < n){
                    isnot_prime[j] = true;
                    j += i;
                }
            }
        }
        return count; 
    }
};

结果：

第二次解答

在解答1上，在进一步的，如果我们从2开始执行厄拉多塞筛法，我们判断某个数k是不是质数时，还需要遍历 i $\in$[2, sqrt(k)] 整除吗？其实不需要，初始时默认所有数为质数，第一个2一定是质数，这样就筛选掉了间隔为2的非质数4，6，8，…，从而下一个找到的3，5，7，都一定是质数，换句话说，采用厄拉多塞筛法，我从2往后遍历，遇到的每一个没被筛掉的数k都一定是质数，不需要再遍历i $\in$[2, sqrt(k)] 整除了。

代码：

#include <vector>
class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> isnot_prime(n, false);
        int count = 0;
        for(int i=2; i<n; ++i){
            if(true == isnot_prime[i] )
                continue;

            count++;
            int j = 2*i;
            while(j < n){
                isnot_prime[j] = true;
                j += i;
            }
        }
        return count; 
    }
};

结果：

相关/参考链接

题解1
题解2