题意简述：
在一个圆内随机放\(n\)个点，求这\(n\)个点在同一半圆内的概率。
解法：
首先进行一个转换，题目等价于在圆弧上随机\(n\)个点，这\(n\)个点在一个半圆弧上的概率。
对于一种选择\(n\)个点的方案，我们先强制其中一个点为起点，并且认为这个半圆弧是从这个点开始的沿顺时针走的半圆弧。
我们称这样的方案为新方案，原来的方案叫旧方案。
我们称一个新方案合法当且仅当其余\(n-1\)个点在划出的半圆弧上。
我们可以认为每个旧方案和\(n\)个一组的新方案是一一对应的。（这\(n\)个新方案满足\(n\)个点的位置相同，而起点各不相同）
注意到对于一组不合法的旧方案，它对应\(n\)组不合法的新方案。
而对于一组合法的旧方案，它对应\(1\)组合法的新方案和\(n-1\)组不合法的新方案。
同时注意到随机一个新方案，它的合法概率是\(\frac1{2^{n-1}}\)（起点任意取，而后面每个点都有\(\frac12\)的概率落在起点开始的半圆弧）。
因此随机一个旧方案，合法概率是\(\frac n{2^{n-1}}\)。