问题描述
总共有 N（N ≥ 1） 个人站成一列，将他们从左向右编号为 1，2，3 ，…… ，N。编号为 1 的人从 1 开始报数，直到一个人报到 m （m ≥ 1），就将这个人移出队列，下一个人继续从 1 开始报数，直到又有人报到 m，不断重复这个过程，显然最后只会剩下一个人，请求出这个人的编号。
这就是著名的约瑟夫问题。
O(m×N) 时间复杂度的求解方式
我们首先以 N = 5，m = 3 为例对这个问题的求解进行演示。下图中编号为 3 的人首先报到 3，应该移出队列。
3 号被移出队列后（标记为灰色表示已移出队列），4 号继续开始从 1 报数，下一个报到 3 的就是 1号，将其移出队列。
然后从 2 号开始报数，因为 3 号已经被移出队列了，所以不再报数，下一个报到 3 的就是5号，将5号移出队列。
再从 2 号开始报数，最后 2 号报到 3，移出队列。
最后队列中只剩下了 4 号，计算结束。
以上求解过程可以用一个单向链表来模拟，这种方式较为简单，此处不做过多讨论。
因为每将一个人移出队列，都要报 m 个数，而最终要移出 N - 1 个人，所以这种求解方式的时间复杂度为 O(m×N) 。这里给出一种 O(N) 时间复杂度求解约瑟夫问题的方法。
O(N) 时间复杂度的求解方式
我们先来考虑最简单的情况，也就是 N=1，这时无论 m 是多少，求解结果都为 1。
如果 N=2，我们假设求解结果为 F(2)。
如果 N=3，求解结果为 F(3)。
如果 N=4，求解结果为 F(4)。
…
最后，也就是我们要计算的最终结果就是 F(N)。
令 i=1~N，我们有必要重申一下 F(i) 的含义，这是理解该算法的关键：F(i) 指的是 i 个人玩这个游戏，他们的编号为从 1 到 i，最终仍然留在队列中的那个人的编号。
显然 F(1)=1，根据递推的思想，如果我们知道 F(i-1) 和 F(i) 之间的关系，我们就能从 F(1) 开始，推导求出 F(2)，F(3) 一直到 F(N) 的值。找到 F(i-1) 和 F(i) 之间的关系就是我们接下来要做的事情。
我们先计算 i 个人参与游戏的时候，报数（callNum）和编号（oldNum）之间的关系。两者之间的关系如下图所示，可以用公式表达为：
(式1) oldNum = (callNum - 1) % i + 1
假如编号为 d 的人被移出了队列，此时队列中只剩下了 i-1 个人，我们给这个队列重新进行编号（newNum），编号方式为 d 下一个人为 1 号，之后是 2 号，3 号以此类推，如下图所示，灰色的方块表示这个人已经被移出了队列，所以新编号中没有他，oldNum 和 newNum 之间的关系可以表示为：
(式2) oldNum = (newNum + d -1) % i + 1
因为报到了 m 的人被移出了队列，依据 (式1) 可以求得：
d = (m - 1) % i + 1
代入 (式2) 可得：
oldNum = (newNum + (m - 1) % i + 1 - 1) % i + 1
化简后为：
oldNum = (newNum + m - 1) % i + 1
至此我们就求得了新编号和旧编号之间的关系，新编号中编号为 F(i-1) 的人最终留在了队列里，那么这个人在旧编号中的编号 F(i) 即为：
F(i) = (F(i - 1) + m - 1) % i + 1
因为 F(1)=1，所以我们就可以根据上面这个公式递推得到 F(N)。这里需要明确的一点是，新编号中编号为 F(i-1) 的人和旧编号中编号为 F(i) 的人是同一个人。只不过这个人的编号发生了变化。所以递推过程可以理解为：根据新编号中存活下来的人的编号，计算出这个人在老编号中的编号。
我们还是以 N=5 和 m=3 为例，演示一下这个方法的求解步骤：
F(1) = 1
F(2) = (F(1) + 3 - 1) % 2 + 1 = 2
F(3) = (F(2) + 3 - 1) % 3 + 1 = 2
F(4) = (F(3) + 3 - 1) % 4 + 1 = 1
F(5) = (F(4) + 3 - 1) % 5 + 1 = 4
也就是说编号为 4 的那个人是最后留在队列中的人，这与我们之前的计算结果是一致的。读者可以根据下图理解一下 “新编号中编号为 F(i-1) 的人和旧编号中编号为 F(i) 的人是同一个人” 这句话。因为 F(5)=4，F(4)=1，所以下图中 oldNum 中的 4 号和 newNum中的 1 号其实是同一个人。
因为这种方法只需要迭代 N-1 次，所以求解的时间复杂度为 O(N)。至此我们已经完成了对 O(N) 时间复杂度下对约瑟夫问题的求解。
