一，介绍
1，动态规划在数学，计算机科学和经济学等领域中极为常见，是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解的方法。
2，动态规划是近几年科技公司面试的必考算法，题目类型多，没有固定模板，难度大多属于中上，根据面试统计结果，一般失败的面试都与动态规划有关。但是动态分析并不可怕，可怕的是你的内心，不要遇到这种题就绕道而行。其实是有规律可行的，我们下面来通过几个经典例子，掌握其中的思想，举一反三！
eg1：
你有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都有足够多。买一本书需要27元，如何用最少的硬币组合正好还清，不需要对方找钱。
（1）按照常理，最少的硬币组合 即尽量用面值大的硬币
- 7+7+7=21
- 21+5=26
- 呃。。。
（2） 改算法：尽量用大的硬币，最后如果可以用一种硬币付清就行。
- 7+7+7=21
- 21+2+2+2=27
- 6枚硬币，应该对了吧。。。
正确答案是 7+5+5+5+5=27
5枚硬币
不可思议吧，哈哈哈，别吃惊，我来告诉你为什么** _ **
动态规划组成部分一：确定状态
（1）状态太动态规划中作用属于定海神针（ important！）
（2）简单地说，解动态规划的时候，需要开一个数组，数组的每一个元素构成的 f[i][j] 表示什么
类似于数学题中，x，y，z代表什么
（3）确定状态需要两个意识：
<1>最后一步
<2>子问题
<1>“最后一步”
虽然我们也不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是K枚硬币a1，a2，…，ak面值和为27
所以一定有一枚最后的硬币：ak
除去这一枚硬币，前面硬币的面值和加起来是27-ak
在这里有两个关键点：
（1）关键点一：
我们不关心前面的k-1枚硬币怎么拼出27-ak的（可能有1种拼法，可能有100种），而且我们学长甚至不知道ak和k，但是我们已经确定前面的硬币拼出了27-ak
（2）关键点二：
因为是最优策略，所以拼出27-ak的硬币数一定是最少的，否则就不是最优策略了。
<2>“子问题”
（1）所以我们现在就需要求：最少用多少枚硬币可以拼出27-ak
（2）原问题是最少用多少枚硬币拼出27
（3）我们把原问题转化为了规模更小的子问题 ：27-ak
（4）为了简化定义，我们设状态 f(X)=最少用多少枚硬币拼出X
Wait！！！我们还不知道最后那枚硬币ak是多少
莫慌，继续分析。
最后那枚硬币ak只可能是2，5，7
<1>如果ak=2，f(27)=f(27-2)+1
<2>如果ak=5，f(27)=f(27-5)+1
<3>如果ak=7，f(27)=f(27-7)+1
除此之外，木有其他的可能了
需要求最少的硬币数，所以：
f(27)=min{f(27-2)+1,f(27-5)+1,f(27-7)+1}
如果用递归法解题，我们画图表示一下（字有点丑，嘻嘻）
可以发现，递归解题时存在的问题
（1）做了很多重复的计算，效率低下
（2）如何避免
（3）将计算结果保存起来，并改变计算顺序
动态规划组成部分二：转移方程
（1）转移方程在面试的时候至关重要，当然也是解决问题很重要的一部分
（2）对于任意X，
f[X]=min{f[X-2]+1,f[X-5]+1,f[X-7]+1}
动态规划组成部分三：初始条件和边界情况
（1）f[X]=min{f[X-2]+1,f[X-5]+1,f[X-7]+1}
（2）两个问题：
<1> X-2, X-5, X-7小于0怎么办？
<2>什么时候停止？
（3）如果拼不出Y，就定义f[Y]=正无穷大
eg:f[-1]=f[-2]=…=正无穷大
（4）所以f[1]=min ( f[-1]+1 , f[-4]+1 , f[-6]+1)=正无穷大，表示拼不出来1
（5）初始条件：f[0] = 0
动态规划组成部分四：计算顺序
计算顺序时根据实际情况来定的
例如本题就是要先算小的，才能算出大的
即先算f[1],f[2]…f[27]
f[X]=min{f[X-2]+1,f[X-5]+1,f[X-7]+1}
对于这个式子，如果把右侧的减号改成加号，则应该先算大的
(1)每一步尝试三种硬币，一共27步
（2）与递归算法相比，木有任何重复计算
（3）算法时间复杂度（即需要进行的步数）：27*3
eg2：
给定m行n列的网络，有一个机器人从左上角（0，0）出发，每一步可以向下或者向右走一步
问有多少种不同的方式走到右下角
画得好丑，哈哈哈~
【分析】
动态规划组成部分一：确定状态
-
最后一步：无论机器人用何种方式到达右下角，总有最后挪动的一步
-
右下角坐标设为（m-1，n-1）
-
那么前一步机器人一定是在（m-2，m-1）或者（m-1，n-2）
-
子问题
-
如果机器人有x种方式从左上角走到（m-2，n-1），有y种方式从左上角走到（m-1，n-2），则机器人有x+y种方式走到（m-1，n-1）
-
问题转化：机器人有多少种方式从左上角走到（m-2，n-1）和（m-1，n-2）
-
状态：设f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到（i，j）
*
动态规划组成部分二：转移方程
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]
f[i][j] , f[i-1][j] , f[i][j-1]代表的意思如上解释
动态规划组成部分三：初始条件和边界情况
初始条件：f[0][0]=1,因为机器人只有一种方式到左上角
边界情况：i=0或者j=0，则前一步只能有一个方向过来：f[i][j]=1
动态规划组成部分四：计算顺序
f[0][0]=1
计算第0行：f[0][0],f[0][1]…f[0][n-1]
计算第1行：f[1][0],f[1][1]…f[1][n-1]
…
计算第m-1行：f[1][0],f[m-1][1]…f[m-1][n-1]
答案是f[m-1][n-1]
时间复杂度（计算步数）：O（MN）
空间复杂度（数组大小）：O（MN）
《小结》
动态规划组成部分：
1，确定状态
<1>研究最优策略的最后一步
<2>化为子问题
2，转移方程
根据子问题定义直接得到
3，初始条件和边界问题
细心，考虑周全
4，计算顺序
利用之前的计算结果
动态规划题目的特点
【寄语】世界的路，为自己改变；人生的路，为自己改变，做好自己就是最大的成功。希望读到这篇博文的你，能够有梦可逐！
这篇博文是我看了几个b站视频，总结感悟出来的，有什么不妥之处，欢迎大家提出！
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