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本文介绍了分类模型中两种经典的分类思想，Fisher线性判别：将数据从原始空间映射到一维，使得类内紧致、类间分离（采用一维距离度量）；线性感知机：在数据某一空间下寻找一个超平面将数据分离开（距离度量采用点到超平面的距离），二者分别对应后文的神经网络和支持向量机模型。
作者 | 文杰
编辑 | yuquanle
Fisher线性判别与线性感知机
Fisher线性判别和线性感知机都是针对分类任务，尤其是二分类，二者的共同之处在于都是线性分类器，不同之处在于构建分类器的思想，但是二者有异曲同工之妙。同时二者又可以与logistic回归进行对比，当然logistic回归的理论基础是概率。
A、Fisher线性判别
Fisher线性判别是一种线性分类思想，其核心是找一个投影方向将d维数据投影（降维）到一维，使得类内紧致，类间分离。在确定投影方向之后，决策分类器还并未完成，我们还需要分界点来划分不同的类。一般而言很少用Fisher线性判别作为分类模型，更多是借鉴Fisher线性判别的思想来指导降维。
以两类问题来分析：
由类内紧致，类间分离准则确定投影方向，我们可以定义如下类内距离和类间距离：
其中表示降维后的类中心，表示原始空间的类中心。
类内距离：
其中：
表示每类样本在原始空间的一个类内距离。
类间距离：
其中：
表示每类样本在原始空间的一个类间距离。
所以为了使类内紧致，类间分离，可以最大化如下目标函数：
等价于：
由拉格朗日乘子法有：
可以看出目标函数是关于w的二次凸规划，极值在导数为0处取到，对上式求导有：
如果可逆的话，即：
也就是说是的特征向量。将带入有：
又是一个标量，所以：
虽然我们确定了投影方向，但是真正的决策函数还是未能确定，一般最简单的做法是直接在一维上找一个阈值直接将两类分开，但是如何确定阈值还需要定义分类的损失函数（类一致性准则）。
比如我们直接采用0-1损失，那么决策界则尽可能多的正确分类样本，另外如果我们采用Logistic回归的对数损失，那么我们的决策边界就不一样。从这个角度来看，线性判别分析和Logistic回归都是将数据映射到一维来进行分类，有没有不用降维直接进行分类的方法，下面就是感知机的分类思想。
B、线性感知机
线性感知机同样是基于线性分类思想，其核心是直接在高维空间找到一个超平面将两类样本尽可能的分开。即，定义点到超平面的距离，在保证线性可分的基础上最小化点到超平面的距离（等价于使得最难分的样本离超平面距离尽可能的大），但由于没有线性可分前提，所以感知机的目标函数是最小化错分样本到超平面的距离之和（线性损失），而分类正确的样本无损失。
首先定义线性超平面：
点到超平面的距离为：
即错分的样本到超平面的距离一定为负：
感知机只考虑分类错误的样本，目标函数为最小化错分样本到超平面的距离之和：
其中M为错分样本集合。因为感知机优化的目标是针对错误样本集来不断的调整参数，所以在使用梯度下降算法的时候梯度的计算只依赖于错分的样本。
找到超平面之后我们就可以基于超平面定义决策函数为
再回过头看损失函数，我们发现感知机的损失与Logistic回归的对数损失不一样，感知机采用的损失直接是错误样本的值，而Logistic回归的损失是所有样本的对数损失（当然Logistic回归的）。
感知机的对偶形式：
感知机的对偶形式是logistic回归一致，同SVM对偶形式推导一致。
可以说神经网络和SVM都是线性感知机的一种延伸，神经网络是引入非线性激活函数，而SVM则是使用核函数，SVM同时提出了软间隔分类。虽然说神经网络是从感知机过来的，但是神经网络引入非线性激活函数后，不仅失去了解释性，也使其与感知机渐行渐远，笔者倒是觉得SVM更像感知机，不仅提升了精度，同时保留了很好的解释性。
The End
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