《竞赛真题》
2018年国赛A题讲解：《数学建模及其应用》杂志，第一期，复旦大学蔡志杰老师
关于选题
竞赛规则的变化
开始时间：礼拜四，9.12晚上6点开始。下载题目
去年40000多个队伍，
两个文件的码上传，星期五的晚上，需要匹配。生成码之后不要修改，做一个备份。
提交时间：不要在10点钟后上传，截止时间是15号八点。最晚9：30上传。
选题：
本科组 ABC三个题
评奖规则变化：
去年5分一等奖，10个二等奖。
今年是6+6，按照题目分配，每个题目4个
选题需要注意：不要选择太容易的，校内就pk掉了，可能失去评优的资格。
有一条：不允许公开选的题目，不能校内公开讨论。
B题题目难懂。A题读题简单，结果：模型结果算不出来。
150个一等奖，
A题60%获奖率
B题获奖率80%
题目需要有想法，太平淡没有特色。
选题：不能选没有完全没有想法的题目。
以上是关于选题的问题。
《高温作业专用服装设计》
复旦大学 蔡志杰
以下是听课笔记：包括部分照片，如有侵权，请联系删除。该博客请不要用于商业用途，仅供学习参考使用。当然，这是笔者学习的笔记记录。
去年的A题
热量传递模型
问题重述：
防热服，参数设置，三层
存在第四层：空气层衣服和皮肤之间
测量假人皮肤温度
问题一
计算温度分布。
考虑：温度和什么因素有关
生成电脑文件，文件名，格式等需要注意。
数据1：参数：密度，比热，热传导率，厚度，给定（数据来源：公开资料）
两个值厚度第二层和第四层给定范围。需要自己给出最佳厚度
数据2：测量数据，皮肤温度（数据来源：竞赛公开资料）
阅卷的时候：很多人数据插值拟合，这个数据不是这么用的。
老师忠告：涉及一个时候插值拟合的问题，需要知道做这个的目的，有用的话才要做。
问题2：
确定第二层的最有厚度 ，两个条件：皮肤外侧温度不能超过四十七度，还有时间问题
问题三：确定两层的最优厚度
第二板块：热量传递模型
三维问题，厚度很薄，转化为一维问题
两维半：圆柱体 也可以
简化：一维问题
建系：高温环境和衣服作为坐标原点，朝向人为x轴
模型的建立：
微元法
三维 热量守恒定律，现在是一维的，跟y，z有关的项去掉
热传导微分方程的建立；
比热，密度，k热传导系数
偏微分方程 ，扩散方程，热传导
书上一般不会讲多层介质，需要进行形式变化，每一层需要分别建立模型
得到的是一个方程组
注意：不包括五个点，边界和层和层的交界点
补充条件进去
问题难点：不在于建模型本身，关键问题在于：定解条件
任意常数，确定需要条件
常微分方程：
偏微分方程有任意函数
确定任意函数两类条件：初始条件，假人的温度可控u0可设置
更复杂的条件:边界条件
一般有三类边界条件：竞赛的模型错了，边界条件的选择错了 80%的队伍
热量和服装进行热交换：热量传递的边界条件：
牛顿冷却定律，傅里叶热传导定律
给我的思考是什么：确定理论，查找资料，需要钻进去，用三天的时间学习一个知识，需要特别注意使用的条件，知识的变异用法。
现在确定外法线方向 区间左端点外法线方向是－x方向
需要注意符号，下标e是环境的意思
思考：需要数学公式的编写，软件需要下载（这方面能力我还是欠缺的）
如果模型是对的，需要注意符号，这里是对公式的理解
还有一个难的地方：
五个点没有方程：交界点
过渡信息没有，额外给出来
称之为交界面条件，
思考：跟应用偏微分方程有关的书籍才会讲到，大多数是不讲的，查资料的时候需要多找
建模最难的地方:交界面条件，书上没有
两个：每个都缺少一定信息，需要组合起来
第一个：温度连续u-等于u+
很多同学认为i：导数连续
但是不对
热传导率不相等，乘以k之后连续
左边传过去 的热量等于右边的热量
总的方程组
比较完整的模型
第三部分计算方法
程序不好的话，半个小时算不出来
方法：有限差分法：差商代替导数，微分方程用
导数的定义，一个极限
可以去掉极限符号，称之为差商，一阶向前差商
时间方向前面的值
另外的形式
h变为负号也可以：一阶向后差商
需要用上面的两个形式
h为步长
两阶导数：一阶导数的一阶导数
一阶差商的一阶差商
一阶向前差商的一阶向后差商
整理之后得到 二阶差商
空间，时间有关，两阶，偏导数，差商近似
其他所有自变量给定，只有一个变量在变
得到关于x的偏导数一阶差商：y是固定的
同样可以求关于y的差商
关于时间用一阶差商
关于空间需要两阶差商
两种可能：向前或者向后，两种形式原则上都是可以的
具体怎么处理
第一步，确定步长，时间步长和空间步长
时间：delta，等分，
空间步长 每个区间不一样，区间等分，
可以求坐标
向后差商
两阶差商
得到方程，相等得到，对于方程的差分格式
方程组，线性方程组
高斯消去法求解
n这个时间的所有点温度想要知道的
需要知道n-1
递推公式
模型需要知道初始条件
算的时候
是一个循环，关于时间的循环
假设5400s，
循环体是解决方程组
方程的问题：无穷多解
左边没有东西，对内点成立
补充条件：五个点
边界条件：左边边界：
一阶向前差商
右边边界：一阶向后差商
补充上两个方程已经
再补充
交界点需要补充
温度连续：隐含着用掉了
到这里：方程个数和变量个数相等了，方程可解
问题：方程的阶数很高
用到吸收矩阵的方式，求解方程
计算时间4s，优化的算法，一次计算
还要考虑方程的特点，可以优化
Ax=b
方程组：三对角线性方程组
用的是追赶法来处理的
A=LU
A是一个矩阵
L是下三角 U是上三角
其中一个矩阵对角线全部是1，单位三角矩阵
分解唯一的
怎么求呢
用矩阵相等的定理来做
右边两个矩阵相乘，对应左边的矩阵的对应位置的元素
矩阵结合律，
两次来求解
最大的好处：每一个变量都可以直接做出来
没有听清y是什么，这里用了换元法
后面算u用的是从后往前算
ly=b
求y1，然后地推求yi
求x
ux=y
矩阵分解，两次的矩阵方程组，若干次循环可以做掉
高斯消去法 时间复杂度n3
追赶法：时间复杂度 On
不同的线性方程组，选择不同的计算方法
怎么看温度关于空间的单调性
x和t互换一下画图
另外一种方法看温度关于空间的单调性
固定一个时间，看单调性
需要对结果的分析，用数据进行分析，把单调性表达出来
老师：因为主观上好理解，很多队伍没有给出来单调性。
温度单调性的图
第四部分：稳态模型
这里略讲
没有时间t
为什么用这个模型
对于一维情况，存在解析解
需要用公式解对结果进行检验
得到绝对误差
这个题目有陷阱
第五部分：热交换系数的确定
ke和ks
没有提到这两个参数的存在
难度在这里，东西没告诉
问题：确定最佳参数，使得解出来的结果和方程测量值尽可能接近
平方误差最小
怎么计算呢？
最速下降法，牛顿法
穷举法：离散化，每一个离散点选择最优的
变步长的枚举
找到最优解然后加密，在附近继续寻找
使用条件：两个变量可以用，三个变量是极限，4个绝对不能用
随着变量的个数指数增长
反过来：如果变量可以减少的话，可以用穷举法，计算量大大减少
借用稳态模型，减少变量个数
给出了每一个点的温度
利用稳态模型公式得到ks和ke的关系，用ke标识ks
只有一个变量了现在
问题转变成为只有一个优化变量的优化问题
第一个问题解决了，现在。
第二个问题
第六部分：第二层厚度的最优设计
关键点：写出来模型
优化问题，目标
还有约束条件
s.t T=5400s给出的终止时间
只要这一个点，利用单调性
下面 超过44度时间不能超过300s
积分，对1积分，积分区域，大于等于44度这个约束条件，不是显示条件
离散化，1s算一次
总的累加不超过300s
计算量也是有的
可以变成一个简单的条件：
在结束时候之前300s不超过44度：利用的是单调性
思考：好好利用单调性，多做一些东西，可以产生很好的优化
还需要另外一个单调性
皮肤外侧温度和厚度单调递减
用两分法来做
log2n 复杂度
计算一次十几秒
记号：第二层厚度d2
思路完整性用思维导图来分类思考
找中点
两种情况
满足约束，不满足条件
算法结束：dmax-dmin《伊普瑟隆
第七部分：多目标优化
第三个问题：
两层都不知道厚度
模型难度转化，转化为多目标优化问题
思路：转化为单目标问题，找一个折中方案
加权平均是多数同学用的方法
更多是是阿利法去0.5，但是是没有理论依据的，是凭空猜测的
相对好的取到 密度，重量最小，这个加权有理由
思考：选取需要结合题目，对结果进一步分析
温度和厚度单调递减
第四层厚度和第二层厚度负相关
最薄，只能一个厚一点，一个薄一点，存在一个优先级的问题，这是另外一个解法
这个问题的优先级呢？第二层需要薄，第四层是空气，可以厚一点
结合实际情况，
直接取到第四层最厚，第二层最薄
这种方法用这样来做。
第八部分，讲评
1.边界条件
第一类边界条件
不是系统
第二类
不能用，没有偏导数的值
等于零是绝热条件，不传递
使用的是第三类边界条件
2差分格式
向后，隐式格式
向后差商是显示格式，显式格式：条件稳定 拉姆达小于二分之一
只能用隐式格式来做，无条件稳定
3解析解
分离变量法
傅里叶变换都不能用：有界限区间，不能用
4检验
热交换系数未知
通过计算得到，存在误差
误差有影响吗影响多大
检验
方法：对测量值加上随机误差，得到新的交换系数，通过第二问第三问做最优设计，比较，考察是否有很大变化
检验
参数的影响 比如0-1 变化看影响
微小变化有什么变化
至少要做一个检验。
【总结一下】
1.复旦大学蔡志杰老师讲解的深入浅出，数学思想的讲解收获很大。
2.以2018年A题为例，讲解了整个建模的过程，是如何进行思考的，遇到这个问题应该怎么办，遇到那个问题应该怎样解决。一步一步有理有据，论据充分，这是我们需要着重学习的。
3.关于知识点。
微分方程，解的情况，边界条件，如何求解：分离变量，傅里叶变换等等不一定有用
差分格式：向前差分，向后差分
参数检验：不是所有的数据都要用，留下几组用来检验。
多目标规划：注意加权平均数使用
求单调性：用二分法，时间复杂度logn
确定最佳参数，使得解出来的结果和方程测量值尽可能接近：
高阶矩阵的计算：考虑矩阵的特点，使用追赶法来处理。
备注：笔记需要结合优秀论文来看。
写作这篇博客的目的：把上课的知识进行复习，进行查漏补缺，复习提高相应的方法，相应的知识。
