【概述】

树形动态规划是在树的数据结构上的动态规划，在各个阶段呈现树状关系的时候可以采用树形 DP，其基本思想是由子节点的信息推出父节点的信息。

树形 DP 中，是通过以下 $4$ 个树的特点来进行建图的

$n$ 个点， $n-1$ 条边的无向图，任意两顶点间可达
无向图中任意两个点间有且只有一条路
一个点至多有一个前趋，但可以有多个后继
无向图中没有环

【计算顺序】

计算顺序与线性动态规划的顺推、逆推相似，同样有两个方向：

叶 —> 根：在回溯时，从叶节点向上转移状态
根 —> 叶：在叶向根 DFS 一遍后（预处理），再重新向下获取答案

【表示方法】

树形 DP 还涉及到建图的问题，如果题目能很清晰的输入一个树，一般使用 vector<int> s[N]，用 $s[i]$ 来保存节点 $i$ 的所有儿子。

当树是一般树且涉及到权值时，一般采用链式存储法，即用结构体数组 $edge$ 存边， $edge[i]$ 表示第 $i$ 条边， $head[i]$ 存以 $i$ 为起点的第一条边（在 $edge$ 中的下标）

struct Node {
    int next;		//下一条边的存储下标
    int to;			//这条边的终点
    int w;			//权值
}edge[N*2];			//由于是无向图，因此要开2倍

若以点 $i$ 为起点的边新增了一条，则在 $edge$ 中的下标为 $j$ ，那么 $edge[j].next=head[i]$ ，然后 $head[i]=j$ ，即每次新加的边作为第一条边，最后倒序遍历即可。

int cnt;		//边的计数
void Add(int x, int y, int w)		//起点x, 终点y, 权值w
{
    edge[cnt].x = x;
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].next = head[x];
    head[y] = cnt++;
}

遍历以 $x$ 为起点的边时，以 $i$ 开始为第一条边，每次指向下一条（以 $-1$ 为结束标志）

memset(head, -1, sizeof(head));

for(int i = head[st]; i != -1; i = edge[i].next)
{
    ...
}

【计算方法】

树形 DP 的计算方法则与线性 DP 不同，线性 DP 一般采用传统迭代，而树是通过递归定义的，因此树形 DP 要递归来求解。

一般而言，树形 DP 常与背包问题结合起来，常用 $dp[node]$ 表示的是以 $node$ 为根的子树能得到的最优解， $dp[node]$ 需要从 $node$ 的子结点进行状态转移，由于 $dp[node]$ 的状态是由它的儿子转移而来，因此可以将 $node$ 的 $n$ 个儿子看做 $n$ 个物品，对这 $n$ 个物品抉择得到最优的 $dp[node]$ 就用到背包的思想。