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02 回归算法 - 线性回归求解 θ（最大似然估计求解）
回顾线性回归的公式：θ是系数，X是特征，h(x) 是预测值。
h(x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + … + θnxn
h(x) = Σ θixi（ i=0~n ）
h(x) = θTX = [θ1,θ2,θ3,…,θn] * [x1,x2,x3,…,xn]T
最终要求是计算出θ的值，并选择最优的θ值构成算法公式，使预测值能够尽可能接近真实值。
求解线性回归的思路
线性回归主要用到两种方法：最大似然估计、最小二乘法。两种思路截然不同，但最终得到的结果是一致的。
1、最大似然估计求解
y(i)：某个样本的实际值。
θTX (i)：使用公式求出的某个样本的预测值。
ε(i) ：误差。
由于每个样本的预测值和实际值都存在一定的误差，我们获得如下公式：
y(i)= θTX (i) + ε(i)
所有样本的误差ε(i) (1 ≤ i ≤ n) 是独立同分布的，服从均值为 0，方差为某个定值的 б2 的高斯分布。
解释一下上面这个概念。
a、独立同分布（ i.i.d )
实际问题中，很多随机现象都可以看做 独立影响的综合反映，往往服从正态分布。
特征X：x1~xn 是独立同分布的。
每一个样本根据特征计算出的预测值和真实值之间的误差：ε1~εn 也是独立同分布的。
概率论中的一个概念，即一组数据彼此时间互不干扰，在现实环境里随机出现。
独立：比如抛硬币，每次硬币落地这一事件都是独立的，不会因为之前抛硬币的结果而改变。而如果是从一堆白球中每次取一个黑球这种事件，由于随着白球的减少下次取出黑球的概率会不断变大，则不能称每次的取球行为相互独立。
同分布：如果一组数据都是从掷6面色子的结果中获取的，则称样本同分布。如果数据中夹杂着几个掷12面色子的结果，则样本不是同分布的。
b、高斯分布
也称为正态分布，正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
所有样本的误差ε(i) 服从均值为0，方差为σ2: 因为我们最终得到的公式是一个相对完美的公式，所以实际值会均匀得落到公式的两侧，如下所示。所有实际值和预测值的误差均值是0，均值为0意味着误差形成的高斯分布是一个
c、中心极限定理
中心极限定理：只要x1~xn 是独立同分布的，那么y = x1+x2+…+xn；
则y服从：均值 = n * (x1~xn 的均值) = nμ；方差 = n*(x1~xn的方差)=nσ2；
∵ 每个样本的预测值和实际值之间的误差ε(i)也是独立同分布的，所以所有误差的和 ε(i) 满足上述的定义。
又∵ 误差的均值为0，这点在b高斯分布中已证明。(模型是最优的，所以所有的实际值必然均匀得落在预测值的上下两侧，最后误差的均值是0)
∴ 所有样本的误差ε(i) (1 ≤ i ≤ n) 是独立同分布的，服从均值为 0，方差为某个定值的 б2 的高斯分布。得证。
设： f (x | θ) 为样本 X=x1,x2,x3,…xn)的联合概率密度函数，如果观测到的X=x，则称θ的函数：L ( θ | x) = f (x | θ) 为似然函数。
即给定样本x情况下，产生参数θ的可能性 = 在给定参数θ的情况下，观测到样本x的概率。
因此： 联合概率密度的值等于似然函数的值。
如果X是离散的随机变量，似然函数 L (θ | x) = p θ (X=x)
比较似然函数在某个参数点处的取值，
如果：p θ1 (X=x) = L (θ1 | x)，p θ2 (X=x) = L (θ2 | x)；
其中：p θ1 (X=x) > p θ2 (X=x) 即 L (θ1 | x) > L (θ2 | x)；
则：当θ = θ1时观测到X=x的可能性大于θ = θ2时，说明θ1比θ2更像是θ的真实值。
上面解释得比较偏于理论，用一个例子来进一步解释
1号背包：白球1个 黑球99个 ，显然取得黑球的概率是99%；
2号背包：白球99个 黑球1个，显然取得黑球的概率是1%；
现在我被蒙上眼睛，在某个背包中取出了一个黑球。那么问题来了，我最有可能是从哪个背包中取出黑球的？显然刚才我从1号背包中取球的概率较大。
题干中，黑白两种球取出来的概率就是参数值 θ 。观测值是黑球，对应的公式为：
p θ1 (X=x) = L (θ1 | x) > L (θ2 | x) = p θ2 (X=x) ；
p θ1 (X=黑球) ； 背包1从中取得黑球的概率为99%；
p θ2 (X=黑球) ； 背包2中取得黑球的概率为1%；
上述例子中的θ只有背包1和背包2两种参数，但在实际中可能会出现很多组θ：( θ1，θ2，θ3，…，θn)
最大似然函数求解θ过程
理论知识补充完了，接下来先回到最初的式子：
y(i)= θTX (i) + ε(i)；实际值=预测值+误差；
即 ε(i) = y(i) - θTX (i) ①
由于误差是服从高斯分布的，高斯分布的概率密度函数：
由于 ε(i) 均值为0，将 ε(i) 代入公式得②：
将公式 ε(i) = y(i) - θTX (i) ① 代入概率密度函数②得③：
如何从②转化到③是最难理解的一步。
首先需要理解的是， ε(i) = y(i) - θTX (i)，只有在给定了x的情况下，y才有取值的可能。
p(x；θ)，在给定了θ情况下x的取值；
p(y|x；θ)，在给定了x的情况下，还给定了某种参数θ的情况下，y的概率密度函数是多少；
由于x和θ是一个定值，所以θTX (i)可以理解成才一个定值C。
接着思考随机变量 ε(i)，误差期望值(均值)是0， E(ε(i)) = 0 => E(ε(i)+C) = C
ε(i)是服从正态分布的(高斯分布)，ε(i)+C是一个服从均值为C，方差不变的正态分布。
这里是重点
所以：既然y(i)= θTX (i) + ε(i)；y也是服从一个均值为(均值=θTX (i),方差= ε(i)的方差)的正态分布的。但是有一个前提条件：X和θ是被给定的。
所以公式③左侧的含义：在给定了x和某种参数θ的情况下y的概率密度函数。
∵ 联合概率密度函数等于似然函数，L ( θ | x) = f (x | θ);
∴ 得出公式④
联合概率密度函数是怎么得到的？
∵ ε(i)是独立同分布的；
又∵ y(i)也是独立同分布的；
又∵ 根据概率公式： P(AB)表示A和B同时发生的概率；如果A、B相互独立 则P(AB)=P(A)*P(B);
∴ 将公式③左侧进行连乘，得到了公式④上行的右半部分；进一步展开即可得到公式④下行的结果。
到目前为止④联合概率密度函数等于似然函数是我们得出的结果，以上的叙述可以帮你很好的理解似然函数的概念。
总结几个容易混淆的概念
1、f(x|θ) 是什么？
f(x|θ) 是联合概率密度函数，是我所有样本基础上的某个事件是否发生的联合概率密度函数。
2、换个角度再解释下面这个公式：
以上的式子，是发生在单个样本情况下服从的一个正态分布。
即p(y (1)|x (1);θ)…p(y (m)|x (m);θ) 都服从以上式子的正态分布。
所以他们的联合概率密度函数就是1~m个正太分布公式的连乘。
理论依据：y (i)是独立同分布的。
3、L(θ|x) = f(x|θ)
即给定样本x情况下，产生参数θ的可能性 = 在给定参数θ的情况下，观测到样本x的概率。
L(θ|x) 后面统一简写为L(θ)，即最大似然函数 ，看它取得最大值时对应的参数θ是多少。
现在似然函数已经求完了，接下来我们要求L(θ) 是最大值情况下的 θ 的值。
首先考虑公式④的求导，显然不太好求。
但我们知道对于任意一个变量，对它取对数，log(x)、ln(x)，它们的单调性和x的单调性是一样的。随着x的增大，对数函数也增大，x减小，对数函数也减小。所以如果考虑求最大值，log(L( θ)) 、L(θ)它们极值点对应的自变量θ所在的位置是一样的。
根据结论推导出如下公式：
看公式的最后一行，减号左边的式子是一个常数，要取整个式子的最大值，就是求后面这部分式子的最小值。
所以现在问题转化为求如下式子最小值时θ的值：
该函数就是我们线性回归中最后需要求解的目标函数。
讲到这里又需要引入一个新的概念：损失函数（代价函数）
在机器学习中，我们希望找到一个面向整个模型的度量函数，使得这个度量函数越小越好。
本来我们求的是似然函数的最大值，现在把问题转换成了求目标函数的最小值。
损失函数：衡量的是单个观测值在当前系统下的一个损失情况。
代价函数：衡量所有样本在当前系统下的损失情况。
总结一下求解最大似然估计的步骤：
1、写出似然函数L(θ)
2、对似然函数取对数，并整理 ln L(θ)
3、求导数
4、解方程-导数为0的点(极值) ∂ ln L(θ) / ∂ θ = 0
好了，实在听不懂就算了，后文讲解一个更简单的求解θ的办法：最小二乘求解。
