一个超简单的求全排列的算法，Python仅需几行即可实现

前言

组合问题即从 $n$ 个元素中抽取出 $m$ 个元素，其中 $0 \leq m \leq n$。这个问题的算法很多，基本可以分为递规法，基于用树的分支法，或计数器法，这些办法虽然可以解决问题，但是大多比较麻烦，代码也比较繁琐。本方设计了一种基于二进制的遍历算法，不仅代码量少实现简单，而且算法高效计算速度快。

实现原理

当有 $n$ 个元素时，可以看成序列： $(A_1, A_2, A_3, ..., A_n)$ 的向量，每个向量中的任何一个维度只有 $\{0, 1\}$两个值。举例来说，当 $n=8$ 时，可以排列成以下的列表。

A1      A2      A3      A4      A5      A6      A7      A8
0       0       0       0       0       0       1       1
0       0       0       0       0       1       0       1

                   ...（省略若干行) ...
                   
1       0       0       1       0       0       0       0
1       0       1       0       0       0       0       0
1       1       0       0       0       0       0       0

每行的0和1的组合，我们可以看成一个八位二进制的值，比如第1行 0 0 0 0 0 0 1 1 可以表示为 $3$。这样所表示的数据的范围是 $[0, 2^8)$，即 $[0, 256)$ 共256个元素，所以我们只要遍历这些值，然后将其转换为二进制即可。用 $1$ 表示选中， $0$ 表示未选中。当所有组合遍历实现以后，再计算每一行中 $1$ 的个数，从而实现 $C_n^m$。

实现方法

本文先给出实现方法。求全组合问题，其实可以非常简单，如下代码所示，可以以2行代码求出所有的组合。

def permutation(n):
    return [bin(i)[2:].rjust(n,'0') for i in range(2**n)]

如果求组合 $C_n^m$ 几行代码也可以搞定。

def permutation(n, m):
    list = []                 # 用于保存结果
    for i in range(2**n):
        s = '{}'.format(bin(i)[2:].rjust(n,'0'))
        if s.count('1') == m: # 包括 m 个 1，则添加进结果列表
            list.append(s)
    return list

比如，求 $C_8^3$，使用以下测试代码：

r = permutation(8, 2)
print("C(8, 2) = " + str(len(r)) + ", listed as follows")
print('\t'.join(["A" + str(i) for i in range(8)]))
for v in r:
    print('\t'.join(v))       

结果输出如下：

C(8, 2) = 28, listed as follows
A0      A1      A2      A3      A4      A5      A6      A7
0       0       0       0       0       0       1       1
0       0       0       0       0       1       0       1
0       0       0       0       0       1       1       0
0       0       0       0       1       0       0       1
0       0       0       0       1       0       1       0
0       0       0       0       1       1       0       0
0       0       0       1       0       0       0       1
0       0       0       1       0       0       1       0
0       0       0       1       0       1       0       0
0       0       0       1       1       0       0       0
0       0       1       0       0       0       0       1
0       0       1       0       0       0       1       0
0       0       1       0       0       1       0       0
0       0       1       0       1       0       0       0
0       0       1       1       0       0       0       0
0       1       0       0       0       0       0       1
0       1       0       0       0       0       1       0
0       1       0       0       0       1       0       0
0       1       0       0       1       0       0       0
0       1       0       1       0       0       0       0
0       1       1       0       0       0       0       0
1       0       0       0       0       0       0       1
1       0       0       0       0       0       1       0
1       0       0       0       0       1       0       0
1       0       0       0       1       0       0       0
1       0       0       1       0       0       0       0
1       0       1       0       0       0       0       0
1       1       0       0       0       0       0       0

结论

综上，我们只需要利用二进制表示每一种情况，这样只需要 $2^n$ 种情况全部都可以考虑进来，且不需要任何多余的计算，所以计算效果也特别高。