[剑指-Offer] 16. 数值的整数次方(快速幂、递归、代码优化、多方法)

1. 题目来源

链接：数值的整数次方
来源：LeetCode——《剑指-Offer》专项

2. 题目说明

实现函数 double Power(double base, int exponent)，求 base 的 exponent 次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

示例1 ：

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000

示例 2：

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100

示例 3：

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: $2^{-2}$ = $(\frac{1}{2})^2$ = $\frac{1}{4}$ = 0.25

说明：

• -100.0 < x < 100.0
• n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2^31, 2^31 − 1] 。

3. 题目解析

方法一：快速幂

快速幂模板问题，不再赘述。注意下 n 为负值时不能直接对其乘以负一，会产生整形溢出的问题，需要将 n 重新赋给一个数据范围更大的类型。double 不在考虑范围内，因为位运算只能用于整形

参见代码如下：

// 执行用时 :8 ms, 在所有 C++ 提交中击败了9.43%的用户
// 内存消耗 :8.3 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        long q = n;
        if (n < 0) {
            x = 1.0 / x;
            q = -q;
        }
        double res = 1;
        while(q) {
            if (q & 1)  // 位运算只能用于整形
                res *= x;
            x *= x;
            q >>= 1;
        }
        return res;
    }
};

方法二：5行高效递归

快速幂思想，用递归来折半计算：

• 每次把 n 缩小一半，这样 n 最终会缩小到 0，任何数的 0 次方都为 1，这时候再往回乘
• 如果此时 n 是偶数，直接把上次递归得到的值算个平方返回即可
• 如果是奇数，则还需要乘上个 x 的值
• 还有一点需要引起注意的是 n 有可能为负数，对于 n 是负数的情况，我可以先用其绝对值计算出一个结果再取其倒数即可，但是测试用例中的 $-2^{31}$，其绝对值超过了整型最大值，会有溢出错误
• 可以用另一种写法只用一个函数，在每次递归中判断 n 的正负情况针对处理即可

参见代码如下：

// 执行用时 :4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了69.36%的用户
// 内存消耗 :8.3 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        if (n == 0) return 1;
        double half = myPow(x, n / 2);
        if (n % 2 == 0) return half * half;
        if (n > 0) return half * half * x;
        return half * half / x;
    }
};

方法三：迭代法

让 i 初始化为 n，然后看 i 是否是 2 的倍数，不是的话就让 res 乘以 x。然后 x 乘以自己，i 每次循环缩小一半，直到为 0 停止循环。最后看 n 的正负，如果为负，返回其倒数。

在此就很巧妙避免了，n 为负值产生溢出的情况。

参见代码如下：

// 执行用时 :8 ms, 在所有 C++ 提交中击败了9.43%的用户
// 内存消耗 :8.3 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        double res = 1.0;
        for (int i = n; i != 0; i /= 2) {
            if (i % 2 != 0) res *= x;
            x *= x;
        }
        return n < 0 ? 1 / res : res;
    }
};