[51nod 1766] 树上的最远点对 - 树的直径,线段树

\(n\) 个点被 \(n-1\) 条边连接成了一颗树，给出 \(a \to b\) 和 \(c\to d\) 两个区间，表示点的标号请你求出两个区间内各选一点之间的最大距离，即你需要求出 \(\max(dis(i,j) |a<=i<=b,c<=j<=d)\)

Solution

如果我们有 \(S_1,S_2\) 两个点集合，那么 \(S_1,S_2\) 各取一个点获得最大距离时，所选取的点一定在各自的直径端点中选取

于是我们可以对每个区间记录它的直径，然后根据上面的性质写一个 merge

这样就可以用线段树维护了

求距离用 ST 表 LCA，每次询问时间 \(O(1)\)

于是总体复杂度 \(O(n\log n)\)，常数略大

注意要把和 \(null\) 相关的距离设为小于零的数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000005;
int n,m,t1,t2,t3,t4;
struct edge{int v,w;};
vector <edge> g[N];
int s[N],ind,dfn[N],lg2[N],dis[N],dep[N],st[N][20];
struct node{
    int p,q;
};
void dfs(int p) {
    dfn[p]=++ind;
    s[ind]=p;
    for(edge e:g[p]) {
        int q=e.v,w=e.w;
        if(dfn[q]==0) {
            dep[q]=dep[p]+1;
            dis[q]=dis[p]+w;
            dfs(q);
            s[++ind]=p;
        }
    }
}

int lca(int p,int q) { //cout<<"begin"<<endl;
    p=dfn[p]; q=dfn[q];
    if(p>q) swap(p,q);
    int l=lg2[q-p+1];
    //cout<<p<<", "<<q<<", "<<l<<endl;
    if(dep[s[st[p][l]]]<dep[s[st[q-(1<<l)+1][l]]])
        return s[st[p][l]];
    else return s[st[q-(1<<l)+1][l]];
}

int dist(int p,int q) {
    if(p==0 || q==0) return -1; //!
    int l=lca(p,q);
    return dis[p]+dis[q]-2*dis[l];
}

node merge(node x,node y) {
    node ret={0,0};
    int ans=-1;
    if(dist(x.p,x.q)>ans) ret=x,ans=dist(x.p,x.q);
    if(dist(y.p,y.q)>ans) ret=y,ans=dist(y.p,y.q);
    if(dist(x.p,y.p)>ans) ret={x.p,y.p},ans=dist(x.p,y.p);
    if(dist(x.p,y.q)>ans) ret={x.p,y.q},ans=dist(x.p,y.q);
    if(dist(x.q,y.p)>ans) ret={x.q,y.p},ans=dist(x.q,y.p);
    if(dist(x.q,y.q)>ans) ret={x.q,y.q},ans=dist(x.q,y.q);
    return ret;
}

node a[N*4];

void build(int p,int l,int r) {
    if(l==r) {
        a[p]={l,l};
    }
    else {
        build(p*2,l,(l+r)/2);
        build(p*2+1,(l+r)/2+1,r);
        a[p]=merge(a[p*2],a[p*2+1]);
    }
}

node query(int p,int l,int r,int ql,int qr) {
    if(l>qr || r<ql) return {0,0};
    if(l>=ql && r<=qr) return a[p];
    return merge(query(p*2,l,(l+r)/2,ql,qr),
                query(p*2+1,(l+r)/2+1,r,ql,qr));
}

signed main() {
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=2*n;i++) lg2[i]=log2(i);
    for(int i=1;i<n;i++) {
        scanf("%lld%lld%lld",&t1,&t2,&t3);
        g[t1].push_back({t2,t3});
        g[t2].push_back({t1,t3});
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=2*n;i++) st[i][0]=i;
    for(int j=1;j<=18;j++) {
        for(int i=1;i<=ind;i++) {
            if(dep[s[st[i][j-1]]]<dep[s[st[i+(1<<(j-1))][j-1]]])
                st[i][j]=st[i][j-1];
            else st[i][j]=st[i+(1<<(j-1))][j-1];
        }
    }
    build(1,1,n);
    scanf("%lld",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&t1,&t2,&t3,&t4);
        node p=query(1,1,n,t1,t2);
        node q=query(1,1,n,t3,t4);
        int ans=0;
        ans=max(ans,dist(p.p,q.p));
        ans=max(ans,dist(p.p,q.q));
        ans=max(ans,dist(p.q,q.p));
        ans=max(ans,dist(p.q,q.q));
        printf("%lld\n",ans);
    }
}