怕自己忘了。。
2018/05/21
设 d(x) 表示 x 的约数个数。有 d(nm) = ∑ i|n ∑ j|m [ gcd( i, j ) == 1 ]。
证明：将 nm, n, m 分解质因数，nm = p1^x1 + p2^x2 + ... + pn^xn，n = p1^y1 + p2^y2 + ... + pn^yn，m = p1^z1 + p2^z2 + ... + pn^zn；
有 y1 + z1 = x1, y2 + z2 = x2, ... , yn + zn = xn；
显然，d(x) = (x1+1) * (x2+1) * ... * (xn+1) = (y1+z1+1) * (y2+z2+1) * ... * (yn+zn+1)；
因为 i ⊥ j，所以对于每个 p 只能从 n 和 m 中的一个里选取，对于每个 y + z + 1，相当于从 n 中选取 1~y 个且 m 不选，或 m 选取 1~z 个且 n 不选，或 n 和 m 都不选。