leetcode576.出界的路径数

出界的路径数

题目：给定一个 m × n 的网格和一个球。球的起始坐标为 (i,j) ，你可以将球移到相邻的单元格内，或者往上、下、左、右四个方向上移动使球穿过网格边界。但是，你最多可以移动 N 次。找出可以将球移出边界的路径数量。答案可能非常大，返回 结果 mod 10^9 + 7 的值。

方法一

一开始看题，以为类似机器人路径问题，直接用dfs迭代N次，从起点开始，将可到达的位置入栈，判断当前位置是否出界，若出界，路径数量加一；反之，将它下一步可到达的位置入栈。

但是本题与以往类似（做过）的题目有些不同，本题的路径是带返回的，也就是说，某个点可以重复多次被访问。这样下来，重复计算的量就很庞大。（其实从题目中返回结果mod 10 ^ 9 + 7就看出来，计算量不小哇。）

方法二

由于方法一超时，必须想到一种带记忆的算法解决本题有大量重复计算的特点。那么，动态规划它来啦！
因为球的每一次移动都是由上一次移动的结果决定的，通过累加每一次移动后，球处于边界位置的状态数（当球处于边界位置的时候，下次一移动一定可以出界）并且乘以该边界位置可从几个方向出界(cnt<=3)。这样可以得到最终的球出界的路径数。

其中，动态转移方程为:
dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k-1] + dp[i+1][j][k-1] + dp[i][j-1][k-1] + dp[i][j+1][k-1] ，k为移动次数。

这里初始化问题，为了简便，省去讨论边界问题，初始化的矩阵要大给定矩阵一圈。这样，在更新每个节点的值的时候，不用判断当前横、纵坐标是否越界。

class Solution(object):
    def findPaths(self, m, n, N, i, j):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :type N: int
        :type i: int
        :type j: int
        :rtype: int
        """
        lis = [[[0 for p in range(n+2)] for q in range(m+2)]]
        lis[0][i+1][j+1] = 1 #初始化，第0次移动起始节点值为1
        ans = 0              #路径个数
        k = 0                #移动次数
        while k < N:
            temp = [[0 for x in range(n+2)] for y in range(m+2)]
            for p in range(1,m+1):
                for q in range(1,n+1):
                    if lis[k][p][q] > 0: 
                        cnt = 0   #计算可出界的方向数
                        if p == 1:
                            cnt += 1
                        if p == m:
                            cnt += 1
                        if q == 1:
                            cnt += 1
                        if q == n:
                            cnt += 1
                        ans += cnt * lis[k][p][q] 
                    temp[p][q] = lis[k][p-1][q] + lis[k][p+1][q] + lis[k][p][q-1] + lis[k][p][q+1]        
            lis.append(temp)
            k += 1
        return ans % (10 ** 9 + 7)