一、中点画圆法
首先是中点画圆法，考虑圆心在原点，半径为R的圆在第一象限内的八分之一圆弧，从点（0, R）到点（R/ , R/ ）顺时针方向确定这段圆弧。假定某点Pi(xi, yi)已经是该圆弧上最接近实际圆弧的点，那么Pi的下一个点只可能是正右方的P1或右下方的P2两者之一，如图所示：
构造判别函数：F(x, y）= x2 + y2 – R2
当F(x, y）= 0，表示点在圆上，当F(x, y）> 0，表示点在圆外，当F(x, y）< 0，表示点在圆内。如果M是P1和P2的中点，则M的坐标是（xi + 1, yi – 0.5），当F（xi + 1, yi – 0.5）< 0时，M点在圆内，说明P1点离实际圆弧更近，应该取P1作为圆的下一个点。同理分析，当F（xi + 1, yi – 0.5）> 0时，P2离实际圆弧更近，应取P2作为下一个点。当F（xi + 1, yi – 0.5）= 0时，P1和P2都可以作为圆的下一个点，算法约定取P2作为下一个点。
现在将M点坐标（xi + 1, yi – 0.5）带入判别函数F(x, y），得到判别式d：
d = F（xi + 1, yi – 0.5）= (xi + 1)2 + (yi – 0.5)2 – R2
若d < 0，则取P1为下一个点，此时P1的下一个点的判别式为：
d’ = F（xi + 2, yi – 0.5）= (xi + 2)2 + (yi – 0.5)2 – R2
展开后将d带入可得到判别式的递推关系：
d’ = d + 2xi + 3
若d > 0，则取P2为下一个点，此时P2的下一个点的判别式为：
d’ = F（xi + 2, yi – 1.5）= (xi + 2)2 + (yi – 1.5)2 – R2
展开后将d带入可得到判别式的递推关系：
d’ = d + 2(xi - yi) + 5
特别的，在第一个象限的第一个点（0, R）时，可以推倒出判别式d的初始值d0：
d0 = F(1, R – 0.5) = 1 – (R – 0.5)2 – R2 = 1.25 - R
根据上面的分析，可以写出中点画圆法的算法。考虑到圆心不在原点的情况，需要对计算出来的坐标进行了平移，下面就是通用的中点画圆法的源代码：
#include<stdio.h>
#include<graphics.h>
#include<conio.h>
#define x0 400
#define y0 300 //定义全局变量x0,y0:坐标轴中心（x0,y0)
void Middle_point_draw_circle(int x1, int y1, int r)
{
int d0, x = 0, y = r;//d0是判别式的值
d0 = 1.25 - r; //判别式的初始值，1.25可以改为1
while (x < y)
{
if (d0 >= 0)
{
d0 = d0 + 2 * (x - y) + 5; //d0一定要先比x,y更新
x += 1; //因为d0表达式中的x,y是上一个点
y -= 1;
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(x,y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(-x,y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(y,x)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(-y,x)
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(x,-y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(-x,-y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(y,-y)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(-y,-x)
Sleep(50);
}
else
{
d0 = d0 + 2 * x + 3;
x += 1;
y = y;
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(x,y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(-x,y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(y,x)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(-y,x)
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(x,-y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(-x,-y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(y,-y)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(-y,-x)
Sleep(50);
}
}
}
void main()
{
int x1, y1, r;
printf("请输入中点画圆算法圆心坐标(x1,y1)和圆的半径r:\n");
scanf("%d %d %d", &x1, &y1, &r);
initgraph(x0 * 2, y0 * 2); //初始化图形窗口大小
setbkcolor(WHITE);
cleardevice();
setcolor(BLACK);
line(x0, 0, x0, y0 * 2); //坐标轴X
line(0, y0, x0 * 2, y0); //坐标轴Y
Middle_point_draw_circle(x1, y1, r); //中点画圆算法
_getch(); //等待一个任意输入结束
closegraph(); //关闭图形窗口
}
运行结果：
二、Bresenham算法
中点画圆法中，计算判别式d使用了浮点运算，影响了圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算，则可以简化计算，提高效率。于是人们针对中点画圆法进行了多种改进，其中一种方式是将d的初始值由1.25 – R改成1 – R，考虑到圆的半径R总是大于2，因此这个修改不会响d的初始值的符号，同时可以避免浮点运算。还有一种方法是将d的计算放大两倍，同时将初始值改成3 – 2R，这样避免了浮点运算，乘二运算也可以用移位快速代替，采用3 – 2R为初始值的改进算法，称为Bresenham算法。
源代码展示：
#include<stdio.h>
#include<graphics.h>
#include<conio.h>
#define x0 400
#define y0 300 //定义全局变量x0,y0:坐标轴中心（x0,y0)
void Middle_point_draw_circle(int x1, int y1, int r)
{
int d0, x = 0, y = r;//d0是判别式的值
d0 = 3 - 2*r; //判别式的初始值
while (x < y)
{
if (d0 >= 0)
{
d0 = d0 + 4 * (x - y) + 10; //d0一定要先比x,y更新
x += 1; //因为d0表达式中的x,y是上一个点
y -= 1;
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(x,y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(-x,y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(y,x)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(-y,x)
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(x,-y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(-x,-y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(y,-y)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(-y,-x)
Sleep(50);
}
else
{
d0 = d0 + 4 * x + 6;
x += 1;
y = y;
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(x,y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (y + y1)), RED); //(-x,y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(y,x)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (x + y1)), RED); //(-y,x)
putpixel(((x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(x,-y)
putpixel(((-x + x1) + x0), (y0 - (-y + y1)), RED); //(-x,-y)
putpixel(((y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(y,-y)
putpixel(((-y + x1) + x0), (y0 - (-x + y1)), RED); //(-y,-x)
Sleep(50);
}
}
}
void main()
{
int x1, y1, r;
printf("请输入中点画圆算法圆心坐标(x1,y1)和圆的半径r:\n");
scanf("%d %d %d", &x1, &y1, &r);
initgraph(x0 * 2, y0 * 2); //初始化图形窗口大小
setbkcolor(WHITE);
cleardevice();
setcolor(BLACK);
line(x0, 0, x0, y0 * 2); //坐标轴X
line(0, y0, x0 * 2, y0); //坐标轴Y
Middle_point_draw_circle(x1, y1, r); //中点画圆算法
_getch(); //等待一个任意输入结束
closegraph(); //关闭图形窗口
}
运行结果：
