摘录自维基百科：
整数模n乘法群（Multiplicative group of integers modulo n）(Z/p^nZ)^×表示环(Z/p^nZ)的单位（乘法）群。
整数模n环记作Z/nZ或Z/(n)（即整数环模去理想nZ=(n)，由n的倍数组成）或Z_n，它的单位群可能记为(Z/nZ)^*,(Z/nZ)^×,U(Z/nZ)或类似的记号。
在同余理论中，模n的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模n乘法群，也称为模n既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模n的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。
这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果n是质数当且仅当阶数为n-1。
2的幂次：
模n=2只有一个互质同余类1，所以(Z/2Z)^×=C_1。
模n=4有两个互质同余类1和3，所以(Z/4Z)^×=C_2。
模n=8有四个互质同余类1,3,5和7，每个平方都是1，所以(Z/8Z)^×=C_2×C_2，此即Klein四元群。
模n=16有八个互质同余类1,3,5,7,9,11,13和15，所以(Z/16Z)^×=C_2×C_4。
k>2时，(Z/2^kZ)^×=C_2×C_2^(k-2)。
奇质数的幂：
对奇质数的幂p^k，此群是循环群：(Z/p^kZ)^×=C_(p^(k-1))(p-1)=C_Φ(p^k)。
群的阶数由欧拉Φ函数（1760）给出： |(Z/p^nZ)^×|=Φ(n)，这是直积中各循环阶数的乘积。
Kronecker把环叫作"序（order）"，环（ring）这个词是Hilbert引进的。
一个抽象的环是一组元素组成的集合，它关于一种运算形成一个交换群，而且它还受制于可作用于任何二个元素的第二种运算；这第二种运算时封闭的并且是结合的，但可以是，也可以不是交换的；可以有，也可以没有单位元素。它还适合分配律a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=ba+ca。
由一个元素生成的理想叫做主理想。仅由零元素组成的理想叫零理想，记作0和R以外的理想叫做真理想。类似地，如果a_1,a_2,,a_n是环R中给定的m个元素，R有单位元素，则所有和数r_1a_1+r_2a_2+…+r_ma_m,r_i∈R的集合是R的一个左理想，记作(a_1,a_2,…,a_m)。它是包含的最小的左理想。如果一个交换环R的每一个理想都可表成如上的形式，则R叫作Noether环。
定义：环<R,+,·>中·运算满足交换律时，称R为交换环（commutative rings），当·运算有么元时，称R为含么环（ring with unity）。
定义：设<R,+,·>为环，若有非零元素a,b满足ab=0，则称a,b为R的零因子（divisor of 0），并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环。
定理：设两个环同构：R=~R，则若R是整环，则~R也是整环；若R是除环，则~R也是除环；若R是域，则~R也是域；……。
理想：设I为R的子环，若对于I中任何元a（向量模元素）和R中任何元c（纯量环元素），有c·a∈I且a·c∈I，则称I为环R的理想。
定义环R的一个非空子集I，I叫做一个理想子环（理想）若：
1.a,b∈I=>a-b∈Ib
2.a∈I,c∈R=>ca,ac∈I
素理想：环R的真理想I被称为素理想，若对任意R上的理想A,B，有AB包含于I推导出A包含于I或B包含于I。
素理想：R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（此处上下文认为{0}是真理想）（也即，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB包含于P，都有A包含于P或B包含于P。
准素理想：环R的真理想I。若对任意R上的理想P，有P^2包含于I推导出P包含于I，称I是R的准素理想。
定义：设R为环，集合C(R)={c∈R|对于每个r∈R，rc=cr}叫做环R的中心。
求证：C(R)是R的子环，但不一定是R的理想。
真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。 极大理想： 环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
极大左理想：设I是环R的左理想，若I≠R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。
极大左理想与极大理想之间有如下关系：
如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
极大理想未必是极大左理想。
试给出模6、模10、模12剩余类环Z/6Z、Z/10Z、Z/12Z中所有素理想和极大理想，并说明理由。
解：
1、因为剩余类环是循环环，而循环环的子加群、子环和理想就是一回事，因此Z/6Z的全部理想有4个，它们是：
{~0},{~0,~3},{~0,~2,~4},Z/6Z。
由于Z/6Z有零因子，故{~0}不是素理想，当然也不是极大理想。
再由拉格朗日定理知，{~0,~3},{~0,~2,~4}都是Z/6Z的极大理想，从而由推论2知，它们也是Z/6Z的素理想。
2、理由同上，Z/10Z的素理想和极大理想都是{~0,~5},{~0,~2,~4,~6,~8}。
3、T(12)=|{1,2,3,4,6,12}|=6
Z/12Z共有6个理想：<0>={~0},<6>={~0,~6},<4>=<8>={~0,~4,~8},<3>=<9>={~0,~3,~6,~9},<2>=<10>=
{~0,~2,~4,~6,~8,~10},<1>=<5>=<7>=<11>=Z/12Z
因为Z/12Z是一个有零因子的环，所以<0>不是Z/12Z的素理想。
因为~2不属于<6>，~3不属于<6>，有~2·~3属于<6>，所以<6>不是Z/12Z的素理想。
因为~2不属于<4>，有~2·~2属于<4>，所以<4>不是Z/12Z的素理想。
可以证明<3>、<2>是Z/12Z的素理想。
所以，Z/12Z的素理想有2个：<3>、<2>。
因为Z/12Z是一个有单位元的交换环，因此Z/12Z的极大理想一定是素理想，由于Z/12Z本身不是极大理想，所以Z/12Z的极大理想有2个：<3>、<2>。
通用处理方法：
6个理想：
1Z/12Z、2Z/12Z、3Z/12Z、4Z/12Z、6Z/12Z、12Z/12Z
其中2，3是12的素因数，故2Z/12Z和3Z/12Z是Z/12Z的素理想也是极大理想。
又如，Z/16Z的有5个理想：1Z/16Z、2Z/16Z、4Z/16Z、8Z/16Z、16Z/16Z。
其中2是16的素因数。故2Z/16Z={~0,~2,~4,~6,~8,~10,~12,~14}是Z/16Z的素理想也是极大理想。
单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
除环是单环，其零理想是极大理想。
域是单环。
定义：仅有<0>,<1>这2个平凡理想的非零环称为单环。
定理：除环和域只有平凡理想，即它们都是单环。在一定意义下，这个定理的逆定理也成立。
定理：设R是一个阶大于1的环，并且除平凡理想外无其他左或右理想。则当R有单位元时，R为除环；当R无单位元时，R是素阶零乘环。
推论：阶大于1的可换单环必为域或素阶零乘环。
有限单环的例子： M_2、F_2、M_3、F_3，F_4等。注意M_4、M_6等不是单环。单环的中心是域。
素环：当2个理想的乘积是<0>时，只能是其中的1个理想是<0>。
所有的单环都是素环。单环都是素环。
半素环：对于其中1个理想A和任意正数n，A^n=0可推出A=0。
素环都是半素环。
弱布尔环：环R上的任意一个理想A都有A^2=A，即R上任意理想都为幂等理想。
F_2是一个2阶的弱布尔环、布尔环。
称环R是局部有限环，如果环R的任意有限子集生成一个有限乘法半群。
一个（左或右）理想I称为幂零的，如果它的某个幂I^m是零理想。
理想的例子：
（1）零理想<0>，它由单个的零元素组成。
（2）单位理想<1>，它包含环中所有的元素。
（3）由元素a生成的理想(a)，它由所有表成形式ra+na（r∈R，n是整数）的元素组成。不难看出，这个集合的确是理想：两个这种形式的元素的差还是这种形式，它的任意一个倍元s·(ra+na)具有形式r'a，或者r'a+0·a。
理想(a)显然是包含a的最小的（在包含关系下）理想，因为包含a的理想一定包含所有的倍元ra以及和±∑a=na，从而所有的和ra+na。因此，理想(a)也可以定义为所有包含a的理想的交。
如果环R有单位元素e，那么ra+na可以写成ra+nea=(r+ne)n=r'a。因之在这个情形，(a)是由所有的通常的倍元ra组成。例如，在整数环中理想(2)是由所有偶数组成。
由一个元素a生成的理想(a)称为主理想。零理想(0)总是主理想；当R有单位元素e，单位理想R也是主理想，即R=(e)。在非交换环里必须区分左、右主理想。由a生成的右主理想由所有的和式ar+na组成。
（4）由元素a_1,…,a_n生成的理想同样可以定义为所有表成形式∑r_ia_i+∑n_ja_j的元素的集合，或者是所有包含元素a_1,…a_n的理想的交。这个理想用(a_1,…,a_n)代表，a_1,…,a_n称为一组理想基。
（5）同样可以定义由一个无穷集合M生成的理想(M)，它是所有表成有限和∑r_ia_i+∑n_ja_j（a_i∈M，r_i∈R，n_j是整数）的元素的全体。
一个理想I，作为环的加法群的子群，在R中定义一个分类，把R分成I的陪集或者I的同余类。两个元素a，b称为对I同余或者模I同余，如果它们属于相同的同余类，这就是说，a-b∈I。记为a-b≡(mod I)，或者简写为a≡b(I)。
"a不同余于b"写成a!≡b。
如果I是一主理想(m)，那么a≡b(I)也写成a≡b((m))。在这个情形也可以去掉一层括号简写为a≡b(m)。
通常地，对于一个整数的同余式就是一个例子：a≡b(n)（读为a同余于b模n）就表示a-b属于(n)，也就是说，它是n的倍数。
设I是环R的一个理想（或者更一般地一个模）。如果a是I的一个元素，那么我们写成a≡0(I)并且说a被理想I整除。如果一个理想J（或者一个模）的元素全被I整除，我们就说J被I整除。这其实就是表示J是I的子集合，记为J≡0(I)。
我们称I是J的一个因子，J是I的一个倍理想。 因而，因子=包集合，倍理想=子集合。如果又有J≠I，即J{<}I，I就称为J的一个真因子，J是I的一个真倍理想。
在具有单位元素的交换环中，对于主理想来说，J=(a)≡0((b))=0(I)就表示a=rb，于是理想论的整除性概念就变成了通常的整除性概念。
从现在开始所讨论的环又假定都是交换的。
R中一理想P称为素理想，如果它的同余类环R/P是一整环，也就是没有零因子。
如果P的同余类与以前一样还用加横或[]表示，那么
由[a][b]=0与[a]≠0推出[b]=0。
或者同样地，对R中任意a,b，由ab≡0(P)，a!≡0(P)推出b≡0(P)。
用文字来说就是：如果P整除乘积，它一定整除其中一个因子。
显然，单位理想一定是素理想，因为条件a!≡0(P)是不可能被满足的。
零理想是素理想当且仅当环R本身是一整环。以后我们将看到，在整数环Z中由一个素数生成的主理想也是素理想。
R中一理想称为极大的，如果除去R本身外它不包含在其他的理想中，换句话说，它除去单位理想外没有其他的真因子。（例如，上面提到的Z中素主理想(p)是极大的）。
在具有单位元素的环R中，每一个不等于R的极大理想P一定是素理想，并且它的同余类环R/P是域。反之，如果R/P是域，则P极大。
整数环中的零理想这个例子说明并不是每个素理想都是极大的，在整系数多项式环Z[x]中理想(x)也是这样一
个例子，因为它以理想(2,x)作为一个真因子。----即(x){<}(2,x)
不难看出，理想(x)与(2,x)都是素的。
由两个理想I,J的和生成的理想(I,J)称为这两个理想的最大公因子（g.c.d.），它是它们的公因子，并且每个公因子都能整除它。(I,J)也称为这两个理想的和，因为它显然是由所有的元素a+b组成，其中a∈I，b∈J。
理想I,J的交I∩J称为它们的最小公倍（l.c.m.），它是它们的公倍并且能整除它们的每个公倍。
我们把理想A,B,…的最大公因子或和理解为由它们的并所生成的理想(A,B,…)，同样地，把它们的最小公倍理解为交[A,B,…]=A∩B∩…。
我们以前定义过素理想是这样的理想，它的同余类环没有零因子。
在整数环里，每一个整数a>0都是不相同的素数幂的积a=p_1^σ_1…p_r^σ_r，
从而每一个理想(a)都是素理想幂的积：(a)=(p_1)^σ_1…(p_r)^σ_r。
在更一般的环里，我们不能希望理想的分解规律如此简单。
一个理想叫做准素的，如果在它的同余类环里每一个零因子都是幂零的。
我们可以看出，这个定义是素理想定义的一个微小改变。在以一个素理想为模的同余类环里，每一个零因子不仅是幂零的，而且本身就是零。
一个理想I叫做可约的，如果它可以被表示成两个真因子的交：
I=A∩B，A{>}I，B{>}I。
如果这样的表示不可能，那么就说这个理想不可约。
素理想是不可约理想的例子。
第一分解定理：每一个理想都是有限个不可约理想的交。
定理：每一个不可约理想都是准素的。
因为每一理想都可以表示成有限个不可约理想的交，而每一不可约理想都是准素的，所以
定理：每一理想都可以被表示成有限个准素理想的交。
在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R/I是域。
设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。
素理想对交换环有一个较简单的描述：如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：
只要a,b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。
P不等于整个环R。
这推广了素数的以下性质：如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。
因此，我们可以说：正整数n是素数，当且仅当理想nZ是Z的素理想。
素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环（或质环）。
任何极大理想都是素理想。
任何本原理想都是素理想。
任何素环的零理想都是素理想。
无零因子环是素环。
在交换环R中，真理想I是素理想的充要条件是：R/I是素环。
交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。
环R的理想I是素理想，当且仅当R\I在乘法运算下封闭。
每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。
一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。
一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。
环<R,+,·>强抽象为域的限制条件：<R-{0},·>是可交换群。----不用素理想的语言
一个素理想在环同态下的原像是素理想。
准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。
定理：给定环<R，+，·>，则<R，+，·>为无零因子环<=><R，·>满足可约律。
环中可约律与无零因子是等价的。
定理：若f为从环<R，+，·>到环<S，(+)，⊙>的环同态映射，则<K_f，+，·>为<R，+，·>之理想。
挖补定理：设S是环R的一个子环，且S与环~S同构，即R{>=}S≌~S。又若~S∩(R-S)=φ，即~S同S在R的余集R-S无公共元素，则存在环~R，使得~R≌R,~S{<=}~R。
定理：设R为环，I，J都是R的理想。则I与J的和与交都是R的理想。
定理：(1)环R的任意有限多个理想的和还是理想；(2)环R的任意(有限或无限)多个理想的交还是R的理想。
定理：设R为环，I是R的理想，则
(1)~0=I为R/I的零元；
(2)如果R有单位元e，且e!∈I，则~e=e+I为R/I的单位元；
(3)如果R是交换环, 则R/I也是交换环。
GitHub开源项目MathTool地址：
https://github.com/Ivanhan2018/MathTool
20200220：生成模n剩余类环Z/nZ的理想子环RingByGenerators([ZmodnZObj(m,n)])的加法、乘法凯莱表Znm.exe
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：16
请输入理想<m>的生成元m：4
0 4 8 12
[R4Add]
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
[R4Mul]
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Z/16Z_<4>=M_4=R4_1
商环Z/16Z/(Z/16Z_<4>)=?
<4> = {0,4,8,12}, this is a subgroup of {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} = Z16 under addition (mod 16).
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：16
请输入理想<m>的生成元m：3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
[R16Add]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6
8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7
9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
[R16Mul]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9 11 13 15
1 4 7 10 13 16 3 6 9 12 15 2 5 8 11 14
1 5 9 13 1 5 9 13 1 5 9 13 1 5 9 13
1 6 11 16 5 10 15 4 9 14 3 8 13 2 7 12
1 7 13 3 9 15 5 11 1 7 13 3 9 15 5 11
1 8 15 6 13 4 11 2 9 16 7 14 5 12 3 10
1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9
1 10 3 12 5 14 7 16 9 2 11 4 13 6 15 8
1 11 5 15 9 3 13 7 1 11 5 15 9 3 13 7
1 12 7 2 13 8 3 14 9 4 15 10 5 16 11 6
1 13 9 5 1 13 9 5 1 13 9 5 1 13 9 5
1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 16 13 10 7 4
1 15 13 11 9 7 5 3 1 15 13 11 9 7 5 3
1 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
幂零理想环：环R上的任意一个理想A都有A^n=0，即R上任意理想都为幂零理想。
Z/8Z的理想<2>={0,2,4,6}是一个4阶的幂零元环、幂零理想环。
R4_2=Z/8Z_<2>
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：8
请输入理想<m>的生成元m：2
0 2 4 6
[R4Add]
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
[R4Mul]
1 1 1 1
1 3 1 3
1 1 1 1
1 3 1 3
<2>={0,2,4}是Z/6Z={0,1,2,3,4,5}的子环
F3=Z/6Z_<2>=Z/12Z_<4>
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：6
请输入理想<m>的生成元m：2
0 2 4
[R3Add]
1 2 3
2 3 1
3 1 2
[R3Mul]
1 1 1
1 3 2
1 2 3
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：12
请输入理想<m>的生成元m：4
0 4 8
[R3Add]
1 2 3
2 3 1
3 1 2
[R3Mul]
1 1 1
1 2 3
1 3 2
计算Z/12Z的所有理想：
well, ALL the elements generate ideals!
the thing is, SOME of these ideals are "the same".
since (Z12,+) is a cyclic group, and any ideal is an additive subgroup of (Z12,+), every ideal is principal.
so it suffices to see what (0), (1), (2), (3) , (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10) and (11) are.
clearly (0) = {0}. this ideal, the 0-ideal is an ideal of every ring (but not very interesting).
also, (1) = Z12 (this is also an ideal for every ring with identity, and equal to the entire ring).
now (2) = {0,2,4,6,8,10}. a little experimentation will show that (10) gives the same ideal:
10+10+10+10+10 = 2 (mod 12), so 2 is in (10), so (10) contains (2), and
2+2+2+2+2 = 10 (mod 12), so 10 is in (2), so (2) contains (10).
in fact, if we can show that 1 is in any ideal, that that ideal is all of Z12.
so since 11*11 = 1 (mod 12), (11) = (1) = Z12.
similarly, 5*5 = 1 (mod 12), so (5) = Z12.
and...since 7*7 = 1 (mod 12), (7) = Z12.
so so far we have the following ideals:
(0) = {0}
(1) = (5) = (7) = (11) = Z12
(2) = (10) = {0,2,4,6,8,10}
now we also have (3) = {0,3,6,9}.
note that 9+9+9 = 3 (mod 12), so (9) contains (3), and of course 9 is in (3), so (3) contains (9).
thus we can add to the list:
(3) = (9) = {0,3,6,9}
F3=Z/6Z_<2>=Z/12Z_<4>=next, we have (4) = {0,4,8}. can you show that (8)= (4)?
M2=Z/12Z_<6>=that only leaves (6) = {0,6}, which completes the list.
R6_2=F_3×M_2=Z/12Z_<2>=<2>={0,2,4,6,8,10}是Z/12Z的理想，例如3(6)=18=6
Z/4Z=Z/12Z_<3>=<3>={0,3,6=3+3,9=3+3+3}是Z/12Z的理想
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：12
请输入理想<m>的生成元m：2
0 2 4 6 8 10
[R6Add]
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5
[R6Mul]
1 1 1 1 1 1
1 3 5 1 3 5
1 5 3 1 5 3
1 1 1 1 1 1
1 3 5 1 3 5
1 5 3 1 5 3
请输入模n剩余类环Z/nZ的阶n：12
请输入理想<m>的生成元m：3
0 3 6 9
[R4Add]
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
[R4Mul]
1 1 1 1
1 4 3 2
1 3 1 3
1 2 3 4
GF(2)上的多项式f(x)=x^2+1的剩余类全体为：
~0，~1，~x，~(x+1)
GF(2)上的多项式f(x)=x^2+x+1的剩余类全体为：
~0，~1，~x，~(x+1)
对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环R4_9，后者构成域R4_11。
结论：若n次首一多项式f(x)在域F_p上既约，则f(x)的剩余类环构成一个有p^n个元素的有限域。
多项式环F_p[x]的一切理想均是主理想。
多项式剩余类环F_p[x]/f(x)中的每一个理想都是主理想。
./GRpf 2 x^2+x^0 R4_9.txt
f=1x^2 1x^0 =1x^2 0x^1 1x^0 =5是可约多项式
[R4Add]
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
[R4Mul]
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 2 4
1 4 4 1
R4_1：2有零因子交换无幺环,1,0,4,1,3,3,16,3,4
R4_2：2有零因子交换无幺环,1,0,4,1,1,3,12,3,4
R4_3：1有零因子交换幺环,1,1,2,2,1,1,8,1,4
R4_4：2有零因子交换无幺环,1,0,4,1,3,3,16,3,4
R4_5：2有零因子交换无幺环,1,0,4,1,1,3,12,3,4
R4_6：2有零因子交换无幺环,1,0,4,2,1,1,12,3,4
R4_7：4有零因子非交换无幺环,0,0,4,3,1,1,10,1,1
R4_8：4有零因子非交换无幺环,0,0,4,3,1,1,10,3,1
R4_9：1有零因子交换幺环,1,1,2,2,1,1,8,1,4
R4_10：1有零因子交换幺环,布尔环,1,1,3,4,0,0,9,2,4
R4_11：0域,1,1,1,2,0,0,7,0,4
20151126：由局部环的定义可知，R4_3、R4_9、R4_11分别有1个同构于R2_1、R2_1、R2_2=F_2的极大理想，它们都是局部环；R4_10有2个同构于R2_2=F_2的极大理想，它不是局部环。
所以4阶局部环只有3个。
