题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
输出格式：
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。
说明
时空限制：1000ms,128M
数据规模：
对于30%的数据：N<=8，M<=10
对于70%的数据：N<=1000，M<=10000
对于100%的数据：N<=100000，M<=100000
思路：
明显，这道题是一道线段树的模板题（虽然可以拿分块什么的水过去），在题解之前，先普及一些知识
什么是线段树？
我们知道，一般数据的储存是线性的，但这样对于区间问题并不优，下图所示的数列
我们如果想要
查询，那么时间复杂度为o（区间长度）有些别跟我说用前缀和的可以优化到O（1）级别，没用的，修改时间复杂度更高
但修改呢？？
如果你用正常修改，时间复杂度为O（区间长度），如果你要用前缀和，那么复杂度会为O（数列长度-区间左端）；
显然，过于暴力，出题人想卡你的话你的时间复杂度会劣化到最大O（操作数*数列长度）
TLE 的飞起
那该怎么办呢？
大家学过堆吧？
一个O（nlogn^2）的暴力快排，上了二叉树就变成了O（nlogn）
快了好多啊！
那么我们这个操作能不能上树呢？
当然可以
线段树该出场了
看下面这幅图
我们成功通过二分区间的方式建立了一棵树
此时查询，时间就省得多
比如说查询1~12，暴力的话复杂度为O（12），现在只要查询【1~7】，【8~11】，【12】三个区间即可
复杂度降到O（3log14）；
别看就降了这么一点，如果n很大呢？
再说说插入
你们可能会说，插入以前是O（n），你这一来成了O（nlogn），还费劲了
谁说一定要插到底来着？我这么懒就不能插到中间吗？
答案是肯定的，lazy标记该出场了
比如说上图【4~11】每个加3
结果如下
很显然，如果一个区间被要添加的区间完全包含，那你就不用再去下放到他的儿子，在他的位置上打个lazy标记jike
但同时你要注意细节，因为含有lazy标记的区间的子区间并没有被修改，所以在查询他的子区间时，lazy标记需要下放
同时如果你修改的只是一个元素，那也不需要lazy标记，直接改值即可
线段树的均摊复杂度为O（nlogn）；
线段树的实现有两种方式，数组法和存边法，前者较为简单，但后者在写一些高阶线段树（比如说主席树）和平衡树时更优
我给出一组用数组解决的方法
见代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct node{
long long lazy,sum;
}tree[400010];
int x[100010];
int n,m,a,b,c;
int as;
int sx,st,sk;
long long ans;
char pd;
void update(int l,int r,int i)//更新节点函数（就是下放函数）
{
if(!tree[i].lazy)
{
return;
}
int mid=(l+r)/2;
tree[i*2].sum+=tree[i].lazy*(mid-l+1);
tree[i*2+1].sum+=tree[i].lazy*(r-mid);
tree[i*2].lazy+=tree[i].lazy;
tree[i*2+1].lazy+=tree[i].lazy;
tree[i].lazy=0;
}
long long query(int tl,int tr,int l,int r,int i)//查询函数
{
if(tl>r||tr<l)
{
return 0;
}
if(tl<=l&&r<=tr)
{
return tree[i].sum;
}
update(l,r,i);
int mid=(l+r)/2;
return query(tl,tr,l,mid,i*2)+query(tl,tr,mid+1,r,i*2+1);
}
void add(int tl,int tr,int l,int r,int i,int val)//添加函数
{
if(tl>r||tr<l)
{
return;
}
if(tl<=l&&tr>=r)
{
tree[i].sum+=val*(r-l+1);
tree[i].lazy+=val;
return;
}
update(l,r,i);
int mid=(l+r)/2;
add(tl,tr,l,mid,i*2,val);
add(tl,tr,mid+1,r,i*2+1,val);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
}
void build(int l,int r,int i)//运用初始数据建树
{
if(l==r)
{
tree[i].sum=x[l];
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(l,mid,i*2);
build(mid+1,r,i*2+1);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(a=1;a<=n;a++)
{
cin>>x[a];
}
build(1,n,1);
scanf("\n");
for(int i=1;i<=m;i++)
{
char ch;
int l,r,v;
scanf("%c",&ch);
if(ch=='2')
{
scanf("%d%d\n",&l,&r);
ans=query(l,r,1,n,1);
printf("%lld\n",ans);
}
else
{
scanf("%d%d%d\n",&l,&r,&v);
add(l,r,1,n,1,v);
}
}
}