试题 算法训练 K好数
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问题描述
如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。
输入格式
输入包含两个正整数，K和L。
输出格式
输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。
样例输入
4 2
样例输出
7
数据规模与约定
对于30%的数据，KL <= 106；
对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；
对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。
试题分析
题意理解:K进制且任意相邻的两位数字不是相邻数字的数称为K好数！
①：K进制1位数共k个K好数即0-(k-1)都是K好数
②：假设K=4、L=2，那么两位四进制以0位开头共00、02、03三种，以1开头共11、13两种，以2开头的共20、22两种，以3开头的共30、31、33
三种，0不能做首位所以一共7=2+2+3种。若K=4,L=3，一样道理就是以0开头和两位四进制的所有情况去掉其中1开头的情况与0、2、3开头的组
合便能得到三位四进制以0开头的所有K好数共8=3+2+3种，同理以1开头的三位四进制的K好数共5=2+3种，2开头5=3+2种，3开头8=3+2+3种，则
三位四进制K好数共18=5+5+8种。
所以建立数组dp[L+1][k]，下表i代表位数，j代表以j开头的数。
| i \ j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4进制L位K好数个数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
| 2 | 3=1+1+1(00、02、03) | 2=1+1(11、13) | 2=1+1(20、22) | 3=1+1(30、31、33) | 7=2+2+3 |
| 3 | 8=3+2+3(000、002、003、011…) | 5=2+3 （111、113、120…） | 5=3+2(200、202、203、220…) | 8=3+2+3(300、302、303、311…) | 18=5+5+8 |
| … | … | … | … | … | … |
| AL-1 | A(L-1)0=A(L-2)0+A(L-2)2+A(L-2)3 | A(L-1)1=A(L-2)1+A(L-2)3 | A(L-1)2=A(L-2)0+A(L-2)2 | A(L-1)3=A(L-2)0+A(L-2)1+A(L-2)3 | AL-1=A(L-1)1+A(L-1)2+A(L-1)3 |
| AL | AL0=A(L-1)0+A(L-1)2+A(L-1)3 | AL1=A(L-1)1+A(L-1)3 | AL2=A(L-1)0+A(L-1)2 | AL3=A(L-1)0+A(L-1)1+A(L-1)3 | AL=AL1+AL2+AL3 |
以上则是K为定值时的解题方式，那么K也为任意值的时候，思路一样即把表格在多加一列
代码
#include<stdio.h>
int main(){
int k,l,i,j,m,sum;//因为int（32位）最大值为2147483647
//所以每次计算对1000000007取余就不会溢出
scanf("%d%d",&k,&l);
if(l==1){
printf("%d",k);//L=1时特殊讨论
}
else{
int dp[l+1][k];//0位不用以1位位开始所以是l+1，为了方便理解
for(i=0;i<k;i++){
dp[1][i]=1;//给1位数初始化为1
}
for(i=2;i<l+1;i++){//此处i代表i位
for(j=0;j<k;j++){//j代表以j开头的数
sum=0;//初始化sum
for(m=0;m<k;m++){//遍历i-1位所有情况
if(m-j!=1&&j-m!=1){//不相邻的进入
sum=(sum+dp[i-1][m])%1000000007;
}
}
dp[i][j]=sum;//把值赋给该位置
}
}
sum=0;//初始化sum
for(i=1;i<k;i++){//当位数超过1位时0不能做为开头所以舍去，k=1时直接进不了循环，所以输出0
sum=(sum+dp[l][i])%1000000007;//相加得到结果
}
printf("%d",sum);
}
return 0;
}
