目录
- 线性回归
- 高斯分布
- 最大似然估计
- 最小二乘法的本质
- Logistic回归
- 工具
- 梯度下降算法
- 最大似然估计
线性回归
对于单个变量：
y=ax+b
对于多个变量：
使用极大似然估计解释最小二乘法
\(y^{(i)}=\theta^{T}x^{(i)}+\varepsilon^{(i)}\)
误差\(\varepsilon^{(i)}(1\le i\le m)\)是独立同分布的，服从均值为0，方差为某定值\(\sigma^{2}\)的高斯分布。
原因：中心极限定理
中心极限定理的意义
在实际问题中，很多随机现象可以看做众多因素独立影响的综合反应，往往近似服从正态分布。
- 应用前提是多个随机变量的和，有些问题是乘性误差，则需要鉴别或者取对数后使用。
似然函数
\(y^{(i)}=\theta^{T}x^{(i)}+\varepsilon^{(i)}\)
高斯的对数似然与最小二乘
\(\theta\)的解析式求解过程
将M个N维样本组成矩阵X:
- x的每一行对应一个样本，共M个样本(measurements)
- X的每一列对应样本的一个维度，共N维(regressors)
- 还有额外的一维常数项，全为1
目标函数
梯度
最小二乘意义下的系数最优解
参数的解析式：
加入\(\lambda\)扰动后：
\(X^TX\)半正定：对于任意非零向量u
所以，对于任意实数\(\lambda>0\)，\(X^TX+\lambda I\)正定，从而可逆，保证回归公式有意义。
线性回归的复杂度惩罚因子
线性回归的目标函数为：
将目标函数增加平方和损失；
本质即为假定参数\(\theta\)服从高斯分布。