完备化的过程是熟悉的：
我们可以把原来的域嵌入到完备化后的域中，我们也要考察valuation的变化：
Ostrowski Theorem告诉我们，archimedean valuation下的完备域是确定的：
结论是惊人的，我们重点解析它的证明过程，证明采用反证法，证明的关键在于把问题转化为说明K上的数必然满足R上的一个二次方程：
我们首先说明实数域含于R：
于是我们重点考察nonarchimedan valuation，
以下两个定理不过是p-adic的推广：
在有理函数域中关于素理想的valuation作完备化得到的是形式幂级数域：
其次，用投影极限也可以用到一般valuation theory的理论中：
关键的是需要记住两部分的0元素的开邻域基。
我们把valuation诱导到代数扩张的域上面去：
我们重点解析这一定理的证明：
首先不难讨论Archimedean的情况以及令扩张次数有限：
