【数论基础】模运算详解及其应用

一.基本理论

1.基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 $n = kp + r$
　　
其中 $k、r$是整数，且 $0 ≤ r < p$，称呼 $k$为 $n$除以 $p$的商， $r$为 $n$除以p的余数。

对于正整数p和整数 $a,b$，定义如下运算：

取模运算： $a \% p（或a mod p）$，表示a除以p的余数。

模p加法： $(a + b) \% p$ ，其结果是 $a+b$算术和除以p的余数，也就是说， $(a+b) = kp +r，$则 $(a + b) \% p = r。$

模p减法： $(a-b) \% p$，其结果是 $a-b$算术差除以p的余数。

模p乘法： $(a * b) \% p$，其结果是 $a*b$算术乘法除以p的余数。

2.说明：

1. 同余式：正整数 $a，b$ 分别对 $p$ 取模，它们的余数相同，记做 $a ≡ b \% p$或者 $a ≡ b (mod p)。$

2. $n \% p$得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如： $7\%4 = 3$， $-7\%4 = -3， 7\%-4 = 3， -7\%-4 = -3$。

3.基本性质

（1）若 $p|(a-b)，$则 $a≡b (\% p)$。例如 $11 ≡ 4 (\% 7)，$ $18 ≡ 4(\% 7)$

（2） $(a \% p)=(b \% p)$意味 $a≡b (\% p)$

（3）对称性： $a≡b (\% p)$等价于 $b≡a (\% p)$

（4）传递性：若 $a≡b (\% p)$且 $b≡c (\% p)$，则 $a≡c (\% p)$

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

$(a + b) \% p = (a \% p + b \% p) \% p$ （1）

$(a - b) \% p = (a \% p - b \% p) \% p$ （2）

$(a * b) \% p = (a \% p * b \% p) \% p$ （3）

$(a^b) \% p = ((a \% p)^b) \% p$ （4）

结合率： $((a+b) \% p + c) \% p = (a + (b+c) \% p) \% p$（5）

$((a*b) \% p * c)\% p = (a * (b*c) \% p) \% p$ （6）

交换率： $(a + b) \% p = (b+a) \% p$ （7）

$(a * b) \% p = (b * a) \% p$ （8）

分配率： $((a +b)\% p * c) \% p = ((a * c) \% p + (b * c) \% p) \% p$ （9）

**重要定理：**若 $a≡b (\% p)，$则对于任意的 $c$，都有 $(a + c) ≡ (b + c) (\%p)$；（10）

若 $a≡b (\% p)$，则对于任意的 $c$，都有 $(a * c) ≡ (b * c) (\%p)$；（11）

若 $a≡b (\% p)$， $c≡d (\% p)$，则 $(a + c) ≡ (b + d) (\%p)$， $(a - c) ≡ (b - d) ($，

$(a * c) ≡ (b * d) (\%p)$， $(a / c) ≡ (b / d) (\%p)$； （12）

若 $a≡b (\% p)$，则对于任意的 $c$，都有 $ac≡ bc (\%p)$； （13）

二.基本应用

1.判别奇偶数　　2.判别素数3. 最大公约数　　4．模幂运算

1.快速幂运算

UVA10006 Carmichael Numbers

一个数是 $Carmichael Numbers$
得满足它不是质数并且对于每一个 $i (1 < i < n)$都满足 $i ^ n \equiv i \mod n$
我们如果暴力求解 $i ^ n$
时间复杂度是 $O(n)$妥妥的 $TLE$
我们引进一个高效求 $x ^ y$ 的东西:
快速幂
什么是快速幂呢，就是把 $x ^ y$
变为
(1) $y \mod 2 = 0 : x ^ y = (x ^ 2) ^ {y / 2}$(

(2) $y \mod 2 = 1 : x ^ y = x * x ^ {y - 1}$ ，此时y为偶数

因为每次 $y$ 都会除以2
所以快速幂的时间复杂度就为 $O(log_2y)$
那么此题的时间复杂度就为 $O(T * (\sqrt{n} + n * log_2n))$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ifstream in("input.txt");
ofstream out("output.txt");
#define debug(x) cout<<"# "<<x<<endl
const ll N=100005;
const ll base=137;
const ll mod=2147483647;
const ll INF=1<<30;
ll n,m,x;
ll mod_pos(ll x,ll n,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    while(~scanf("%lld",&n)&&n!=0)
    {
        bool flag=true;
        for(int i=2;i*i<=n;++i){
            if(n%i==0)
                flag=false;
        }
        if(flag){
            printf("%lld is normal.\n",n);
            continue;
        }
        flag=true;
        for(int i=2;i<n;++i)
        {
            if(mod_pos(i,n,n)!=i){
                flag=false;
                printf("%lld is normal.\n",n);
                break;
            }
        }
        if(flag)printf("The number %lld is a Carmichael number.\n",n);
    }
    return 0;
}