读书笔记：李群与李代数
上一讲，我们介绍了三维世界中刚体运动的描述方式，包括旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数等若干种方式。我们重点介绍了旋转的表示，但是在SLAM 中，除了表示之外，我们还要对它们进行估计和优化。因为在SLAM 中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的R; t，使得误差最小化。
如前所言，旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为1）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。
(这一章是纯数学的内容)
李群（Lie Group）：
- 具有连续（光滑）性质的群。
- 既是群也是流形。
- 直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。
李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。
- 通常记作小写的so(3)和se(3)。书中以哥特体突出显示。
- 事实上是李群单位元处的正切空间。
实践部分
useSophus：
依然是出现上一讲的错误：
error: #error This file requires compiler and library support for the ISO C++ 2011 standard. This support must be enabled with the -std=c++11 or -std=gnu++11 compiler options.
#error This file requires compiler and library support \
在CMakeLists.txt中加入：
set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -O2")
然后还得去3rdparty文件夹中安装相应的Sophus库文件，然后编译执行可得结果：
具体结果如下：
/home/wh/shenlan/slambook2/ch4/cmake-build-debug/useSophus
SO(3) from matrix:
2.22045e-16 -1 0
1 2.22045e-16 0
0 0 1
SO(3) from quaternion:
2.22045e-16 -1 0
1 2.22045e-16 0
0 0 1
they are equal
so3 = 0 0 1.5708
so3 hat=
0 -1.5708 0
1.5708 0 -0
-0 0 0
so3 hat vee= 0 0 1.5708
SO3 updated =
0 -1 0
1 0 -0.0001
0.0001 2.03288e-20 1
*******************************
SE3 from R,t=
2.22045e-16 -1 0 1
1 2.22045e-16 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
SE3 from q,t=
2.22045e-16 -1 0 1
1 2.22045e-16 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
se3 = 0.785398 -0.785398 0 0 0 1.5708
se3 hat =
0 -1.5708 0 0.785398
1.5708 0 -0 -0.785398
-0 0 0 0
0 0 0 0
se3 hat vee = 0.785398 -0.785398 0 0 0 1.5708
SE3 updated =
2.22045e-16 -1 0 1.0001
1 2.22045e-16 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Process finished with exit code 0
examples：
又依然是出现上一讲的错误：
error: #error This file requires compiler and library support for the ISO C++ 2011 standard. This support must be enabled with the -std=c++11 or -std=gnu++11 compiler options.
#error This file requires compiler and library support \
在CMakeLists.txt中加入：
set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -O2")
编译后依然出现找不到文件错误：
trajectory ./example/groundtruth.txt not found.
trajectory ./example/estimated.txt not found.
依然和上一讲那样，将路径修改清楚后再编译执行后成功：
课后习题
1.验证SO(3),SE(3)和Sim(3)关于乘法成群:参考这篇博客
2.验证（R^3,R,X)构成李代数：参考这篇
3.验证so(3)和se(3)(李代数）满足李代数雅的性质，se(3)同so(3)证明相似：参考这篇
4.验证性质(4.20)和(4.21)：参考这篇
5.直观的来讲，反对称矩阵p和Rp相似，相似表示的是不同基下相同的变换，此式表达的是在以R为基的(Rp) ^变换与原变换p ^相同,公式推导在这里。参考《Lie groups ,lie algebras, projective geometry and optimization for 3d Geometry,Engineering and Computer Vision》p18：
6：第6题 有如下2.66性质，证明见《Lie Groups:An Introduction Through Linear Groups》
参考《strasdat_phd2012》Lie groups部分
7：高博课程给出了结果：
8：可参考本人之前关于CMake的博客，也可参考这篇。
find_package采用两种模式搜索库：
Module模式：搜索CMAKE_MODULE_PATH指定路径下的FindXXX.cmake文件，执行该文件从而找到XXX库。其中，具体查找库并给XXX_INCLUDE_DIRS和XXX_LIBRARIES两个变量赋值的操作由FindXXX.cmake模块完成。
Config模式：搜索XXX_DIR指定路径下的XXXConfig.cmake文件，执行该文件从而找到XXX库。其中具体查找库并给XXX_INCLUDE_DIRS和XXX_LIBRARIES两个变量赋值的操作由XXXConfig.cmake模块完成
可选参数例如版本控制：find_package(OpenCV 3)。
先决条件是首先需要安装库：如apt-get install或者sudo make install。
