排列
n
\ n
n 例如 ：12和21都是2级排列，123为3级排列。!!! 3145不是5级排列。
n
\ n
n
n
\ n
n
n
！
\ n！
n ！ 逆序
n
\ n
n 逆序 ，记作
A
\ A
A 逆序数 ，记作
N
(
A
)
\ N(A)
N ( A ) 例如 ：排列4213中，数字“4”比数字“2”大，且排在“2”前面，则该排列是一个逆序。它的逆序数记作
N
\ N
N 逆序数为偶数时，称为偶排列；逆序数为奇数时，称为奇排列。
N
(
123
…
n
)
=
0
\ N(123…n)=0
N ( 1 2 3 … n ) = 0
123
…
n
\ 123…n
1 2 3 … n
N
(
n
(
n
−
1
)
…
21
)
=
n
−
1
+
(
n
−
2
)
+
…
+
2
+
1
=
(
n
−
1
)
n
2
\ N(n(n-1)…21)=n-1+(n-2)+…+2+1=\frac{(n-1)n}{2}
N ( n ( n − 1 ) … 2 1 ) = n − 1 + ( n − 2 ) + … + 2 + 1 = 2 ( n − 1 ) n 对换
n
\ n
n 对换 。例如 ：排列12345（奇排列）和13245（偶排列）就是数字2和数字3的位置进行了对换。一个排列做偶数次对换，奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，奇偶性会发生改变。 特别地：一个排列经过1次对换，奇偶性会发生改变。
n
\ n
n
n
!
2
\frac{n!}{2}
2 n !
学习
n
\ n
n
{
5
x
+
6
y
=
7
9
x
+
4
y
=
3
\begin{cases} 5x+6y = 7 \\ 9x+4y = 3 \end{cases}
{ 5 x + 6 y = 7 9 x + 4 y = 3
x
\ x
x
y
\ y
y
{
5
×
9
x
+
6
×
9
y
=
7
×
9
①
9
×
5
x
+
4
×
5
y
=
3
×
5
②
\begin{cases}5×9x+6×9y = 7×9\ ① \\9×5x+4×5y = 3×5\ ②\end{cases}
{ 5 × 9 x + 6 × 9 y = 7 × 9 ① 9 × 5 x + 4 × 5 y = 3 × 5 ②
{
5
×
4
x
+
6
×
4
y
=
7
×
4
①
9
×
6
x
+
4
×
6
y
=
3
×
6
②
\begin{cases}5×4x+6×4y = 7×4\ ① \\9×6x+4×6y = 3×6\ ②\end{cases}
{ 5 × 4 x + 6 × 4 y = 7 × 4 ① 9 × 6 x + 4 × 6 y = 3 × 6 ②
①
−
②
\ ①-②
① − ②
x
\ x
x
y
\ y
y
x
=
3
×
6
−
7
×
4
9
×
6
−
5
×
4
,
y
=
7
×
9
−
3
×
5
9
×
6
−
5
×
4
\ x=\frac{3×6-7×4}{9×6-5×4} ,\ \ y=\frac{7×9-3×5}{9×6-5×4}
x = 9 × 6 − 5 × 4 3 × 6 − 7 × 4 , y = 9 × 6 − 5 × 4 7 × 9 − 3 × 5
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
(
1
)
\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}=ad-bc\ \ \ \ (1)
∣ ∣ ∣ ∣ a c b d ∣ ∣ ∣ ∣ = a d − b c ( 1 )
x
\ x
x
y
\ y
y
x
=
∣
3
7
4
6
∣
∣
9
5
4
6
∣
,
y
=
∣
7
3
5
9
∣
∣
9
5
4
6
∣
\ x=\frac{\begin{vmatrix}3 & 7 \\4 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}9 & 5 \\4 & 6\end{vmatrix}} ,\ \ y=\frac{\begin{vmatrix}7 & 3 \\5 & 9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}9 & 5 \\4 & 6\end{vmatrix}}
x = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 4 5 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 7 6 ∣ ∣ ∣ ∣ , y = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 4 5 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 5 3 9 ∣ ∣ ∣ ∣
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}=ad-bc
∣ ∣ ∣ ∣ a c b d ∣ ∣ ∣ ∣ = a d − b c
二阶行列式通常写作：
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 2 ∣ ∣ ∣ ∣
a
i
j
a_{ij}
a i j
i
i
i
a
i
j
a_{ij}
a i j
j
j
j
a
i
j
a_{ij}
a i j
a
11
a_{11}
a 1 1
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 1 a 2 2 − a 1 2 a 2 1
小练习
∣
1
3
7
9
∣
\begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ 1 7 3 9 ∣ ∣ ∣ ∣
解：
∣
1
3
7
9
∣
=
1
×
9
−
3
×
7
=
−
12
\begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\end{vmatrix}=1×9-3×7=-12
∣ ∣ ∣ ∣ 1 7 3 9 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 × 9 − 3 × 7 = − 1 2
（2） 计算
∣
吱
美
女
雨
∣
\begin{vmatrix}吱 & 美 \\女 & 雨\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ 吱 女 美 雨 ∣ ∣ ∣ ∣
解：
∣
吱
美
女
雨
∣
=
吱
雨
一
美
女
\begin{vmatrix}吱 & 美 \\女 & 雨\end{vmatrix}=吱雨一美女
∣ ∣ ∣ ∣ 吱 女 美 雨 ∣ ∣ ∣ ∣ = 吱 雨 一 美 女
与二阶行列式类似的，通常将三阶行列式写作：
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13}\\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ “三正、三负、共六项” 的特点。
小练习
∣
1
2
0
0
2
1
1
0
1
∣
\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 1 2 2 0 0 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
解：
∣
1
2
0
0
2
1
1
0
1
∣
=
1
×
2
×
1
+
2
×
1
×
1
+
0
×
0
×
0
−
0
×
2
×
1
−
2
×
0
×
1
−
1
×
1
×
0
=
4
\begin{aligned}\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix}&=1×2×1+2×1×1+0×0×0-0×2×1-2×0×1-1×1×0\\&=4\end{aligned}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 1 2 2 0 0 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 × 2 × 1 + 2 × 1 × 1 + 0 × 0 × 0 − 0 × 2 × 1 − 2 × 0 × 1 − 1 × 1 × 0 = 4
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
=
a
11
a
22
a
33
+
a
13
a
21
a
32
+
a
12
a
23
a
31
−
a
13
a
22
a
31
−
a
12
a
21
a
33
−
a
11
a
23
a
32
=
①
+
②
+
③
−
④
−
⑤
−
⑥
\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13}\\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\\&= \ \ \ \ \ \ \ ①\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ②\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ③\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ④\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑤\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑥\end{aligned}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 1 a 2 2 a 3 3 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 + a 1 2 a 2 3 a 3 1 − a 1 3 a 2 2 a 3 1 − a 1 2 a 2 1 a 3 3 − a 1 1 a 2 3 a 3 2 = ① + ② + ③ − ④ − ⑤ − ⑥
第 i 项
符号
行 标
列 标
列标的逆序数
①
+
123
123
0（偶排列）
②
+
123
312
2（偶排列）
③
+
123
231
2（偶排列）
④
-
123
321
3（奇排列）
⑤
-
123
213
1（奇排列）
⑥
-
123
132
1（奇排列）
由上述对比，我们可以发现，对于三阶行列式的展开式：
行标始终取为标准排列
列标取遍排列的所有可能
从不同行不同列取出三个元素相乘，其符号由列标排列的奇偶性决定
像这样的展开方式，我们称之为按行展开 。
n
\ n
n 由上述规律，我们可以很快的写出n阶行列式按行展开的式子：
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∑
j
1
,
j
2
,
⋯
,
j
n
(
−
1
)
N
(
j
1
j
2
⋯
j
n
)
a
1
j
1
a
2
j
2
⋯
a
n
j
n
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots&a_{1n}\\a_{21} & a_{22}&\cdots& a_{2n}\\\vdots &\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1,j_2,\cdots,j_n}(-1)^{N(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = j 1 , j 2 , ⋯ , j n ∑ ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n
D
\ D
D
n
\ n
n
D
=
∣
a
i
j
∣
\ D=|a_{ij} |
D = ∣ a i j ∣ 只有一个数的行列数，就代表这个数。 例如：
∣
a
11
∣
=
a
11
|a_{11}|=a_{11}
∣ a 1 1 ∣ = a 1 1
∣
−
1
∣
=
−
1
|-1|=-1
∣ − 1 ∣ = − 1
常见的几种三角行列式（除阴影部分有数值，其余部分都为0）
名称
形状
特点
上三角
以主对角线为分割，展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
下三角
以主对角线为分割，展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
对角形
以主对角线为分割，展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
山寨上三角
以次对角线为分割，展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
( − 1 ) 2 n ( n − 1 ) a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
山寨下三角
以次对角线为分割，展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
( − 1 ) 2 n ( n − 1 ) a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
山寨对角形
以次对角线为分割，展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
( − 1 ) 2 n ( n − 1 ) a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
小练习
D
1
=
∣
1
2
3
8
1
1
0
4
2
2
0
5
1
0
0
9
∣
\ D_1=\begin{vmatrix}1 & 2& 3&8\\1 & 1&0& 4\\2 &2& 0&5\\ 1 & 0& 0&9\end{vmatrix}
D 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 2 1 2 1 2 0 3 0 0 0 8 4 5 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
[1] 宋浩.《线性代数》全程高清教学视频 “惊叹号”系列[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/av29971113?from=search&seid=4757026773102990321,2019-6-12.
