几个常见的DP类型.

几个常见的DP类型.

1.路径DP.

例题1.P1216 [USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number
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本题每个点路径选择只有两种，很好写dp，具体解释见下面代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5; 
int n,dp[N][N],a[N][N];//状态的确立：dp[i][j]表示终点为第i行第j列的最大值 
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			if(i==n) //确立初始状态：即最后一行的状态. 
			dp[i][j]=a[i][j]; 
	**加粗样式**	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--)//从下往上递推 
		for(int j=1;j<=i;j++)
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+a[i][j],dp[i+1][j+1]+a[i][j]);//每个点只能从由下一行的左边一个点或者右边一个点走到 
	cout<<dp[1][1]<<endl;//反过来想：起点为（1，1）的最大路径 倒过来走终点必为 （1，1） 
	return 0;
} 

简单递推DP.

P2837 [USACO08FEB]Dining Cows B

假设dp[i]为前 i 头 牛的最小修改数。
对第 i 头 牛 进行讨论。如果 第 i 头牛为 2 不用管：dp[ i ]=dp[i -1] ,如果第i头牛为1 又分两种情况：1.如果不用修改，dp[ i ]则等于前面 2 的个数 ， 2.如果要修改，则等于dp[i-1] +1, cnt 可以用一维，由于 dp[ i ] 是由前一个状态的得到，所以空间都可以压缩为 O（1）。下面见代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,cnt,n,x;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		x==2?cnt++:ans=min(ans+1,cnt);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

状态型dp

P1877 [HAOI2012]音量调节

设dp[ i] [j] 第i首歌能到达的音量 j ，
dp[ i ] [ j ] =1表示该状态能到达 ，反之为0不能到达，最后粗从大到小扫一遍即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][1005],a[55];
int main(){
	int n,st,mx;
	cin>>n>>st>>mx;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	dp[0][st]=1; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=mx;j++)
		{
			if(dp[i-1][j]&&a[i]+j<=mx) dp[i][a[i]+j]=1;
			if(dp[i-1][j]&&j-a[i]>=0) dp[i][j-a[i]]=1;
		}
	for(int i=mx;i>=0;i--)
		if(dp[n][i])
		{
			printf("%d\n",i);
			return 0;
		}
	puts("-1");
	return 0; 
}