系统的状态转移矩阵

状态转移矩阵的定义：
对于给定的线性定常系统
$\dot{x}=Ax+Bu$
其中， $x$为 $n$维状态向量
称满足如下矩阵微分方程：
$\dot \Phi(t-t_0)=A\Phi(t-t_0),\quad \Phi(t_0)=I, \quad t\le t_0$
的 $n\times n$维解阵 $\Phi(t-t_0)$为系统的状态转移矩阵。

求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为：
$\Phi(t-t_0)=e^{A(t-t_0)}，t\ge t_0$
当 $t_0=0时$，状态转移矩阵可表示为：
$\Phi(t)=e^{At}，t \ge 0$

系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：
$\begin{aligned} x(t)&=e^{A(t-t_0)}x(t_0)\\ &=\Phi(t-t_0)x(t_0) \quad t\ge t_0 \end{aligned}$
或
$x(t)=e^{At}x(0)=\Phi(t)x(0),\quad t \ge0$

---

状态转移矩阵的物理意义：
$\Phi(t-t_0)$就是在零输入条件下，将时刻 $t_0$的状态 $x_0$转移到时刻 $t$的状态 $x(t)$的一个线性变换