扩展欧几里得求数字逆元

  欧几里得算法大家应该都听说过，是一个求最大公约数的算法，又叫辗转相除法。大致算法的思路就是，要求a,b两个数的最大公约数，用其中一个数对另一个数取余数，不妨记为b%a，然后让下一轮，b变为a，a再变为上一轮b%a的余数继续重复这样的操作。
  这里简单给出一个证明。设最大公约数为t，则 $a=st, b=lt$，则 $b\%a=kt,\ k≤l且k<s$，所以这是一个缩小的序列，最终k缩小到0，就得到了最大公约数。
  那么什么是扩展欧几里得算法呢，这里得先介绍一个定理，叫裴蜀定理，对于a,b肯定存在 $as+bt=gcd(a,b)$，能够在求公约数的时候把x,y也求出来呢，这就是扩展欧几里得算法的用处。算法在求公约数的时候加上了两组数列，这数列在每一步的时候，计算一个等式，使得每一步都有 $b\%a=as+bt$，具体细节就不展开了。显然这个公式中，最后一步，求出a,b的最大公约数时，也就求出了裴蜀定理中的x和y。
  求出这个有什么用呢，这个公式就是用来计算乘法逆元的。先解释一下逆元的概念，假如有一个质数p，有一个正数a，存在a对p的逆元 $a^{-1}，满足a^{-1}*a\%p=1$，则 $a^{-1}$就是a对p的逆元。可以证明对于a小于质数p，逆元总是存在且唯一的。
  把逆元的公式写成裴蜀定理的形式， $a*a{-1}+tp=1=gcd(a,p)$，因为p是质数，所以对于 $a<p$两个数的公约数就是1，然后对应上去欧几里得算法，我们要求的就是裴蜀定理中的s。但是直接求出来s可能是负数，我们需要让s对p求一次补，把它转成正数。
  但是我们到这里只关心这个s，这个s也是一个序列，满足上面的等式，可以看到s的迭代公式也是和b%a的余数迭代公式类似的，具体证明可以大家自己查阅资料。下面直接给出代码。缓冲一下，先看看gcd的代码，然后大家自己做个对比。显然两个算法都是求出公约数的时候停止。

python求公约数的代码

def gcd(a, b):
    while a:
        a,b= b%a ,a
    return b

python扩展欧几里得求逆元代码

def ext_euclid(a, b): # b表示需要输取模的质数
    old_s,s=1,0
    old_r,r=a,b
    if b == 0:
        return 
    else:
        while(r!=0):
            q=old_r//r
            old_r,r=r,old_r-q*r
            old_s,s=s,old_s-q*s
    return old_s%b

C++扩展欧几里得求逆元代码

int ext_euclid(long a, long b)
{
	if (b == 0)return 0;
	long old_r = a, r = b;
	long old_s = 1, s = 0;
	while (old_r % r)
	{
		long q = old_r / r, tmp = old_r;
		old_r = r;
		r = tmp % r;
		tmp = old_s;
		old_s = s;
		s = tmp - s * q;
		cout << r << ',' << s << endl;
	}
	return s>0? s:b+s;
}

  s和t的递推式其实很好证明，只需要根据r的递推式做一个等式代换即可，然后就可以把s和t都求出来，但是我们这里只需要求出s即可。