递归——《入门篇》
一、递归的基本思想
1.什么是递归
对于递归这样的一个基本的算法而言的话呢在程序设计当中， 其实它就是一个函数，在这个函数当中直接或者间接的调用其自身。 这样的表现形式或者说一种操作的方式呢，我们就称之为叫做递归。
那么递归呢可以看成它就是一个问题求解的那么一个过程。 我们将一个复杂的大的问题呢，划分成许多相同性质的小的子问题。
对于一个复杂大的问题来讲，你可能是不好求解的。但是其中的一些小的子问题呢是比较容易进行求解。 那么这一些小的子问题的解最后呢就构成了原问题的解。
2.总体思想
将待求解的问题转变成一个输入变量x的函数f(x)；
然后通过去寻找函数g(x),使得f(x)=g(f(x-1)),我们递归求解的过程其关键就是去找寻这个函数g( )。
f(x) 可以转化为 g() 这个函数，而 g() 这个函数的这个输入的这个变量是什么呢？是 f(x-1) 所以我们看到通过这样的一个递归表达式，我们就可以有效的把 f(x) 这样的一个规模的一个问题转化为变成一个 f(x-1) 这样一个规模的子问题。 就是，原问题被划分成了更小规模的问题。
然后且我们已知到f(0)的值，就可以通过f(0)和g()求出f(x)的解了。
3.推广
所谓推广就是扩展到多个输入变量x,y,z等，就是我们可以将包含若干个输入变量比如说 x、y、 z， 同时也可以对递归表达式中间的这个不断递归的这个过程x-1推广到至x-x1 ，也就是说去减去某一个具体的量。 那么只要保证递归本身这个算法它是朝着出口的方向即可。
所谓出口就是指说是朝着这个递归结束的方向来进行，你不能进行一个死循环或者是 一直在一个嵌套递归的当中。
二、递归与枚举的区别
枚举：
把一个问题划分成一组子问题，依次对这些子问题求解，子问题之间是相互独立的，是横向的，同类的关系。
递归：
把一个问题逐级分解成子问题，子问题与原问题之间是相互联系的，纵向的，同类的关系。
语法形式上：在一个函数的运行过程中，调用这个函数本身分为直接调用和间接调用。
直接调用：在fun()中直接执行fun()
间接调用：在fun1()中执行fun2()；在fun2()中又执行fun1()
三、递归的三个要点
1.递归式
如何将原问题划分为子问题？
也就是上面讲到的如何将f(x)问题转化为一个关于f(x-1)的表达式
也就是说你怎么样能把一个 x 规模的一个问题， 化简为一个 x-1 规模的一个问题。
2.递归出口
递归出口的条件，即最小子问题的求解，可以允许多个出口。
3.界函数
问题规模的变化函数我们称做为界函数。
问题规模变化的函数，它保证递归的规模向出口条件靠拢。
也就是说你的这个不断变化的这个函数是不断的向出口逼近的，而不是说你的这个问题的规模越来越 多或者说走向一个相跟你这个递归本身这个出口相背离的方向。
四、求阶乘的递归程序
我们一般求解阶乘首先想到的都是用循环语句实现：
#python
n = int(input()) #给定n
m = 1 #阶乘n的初始值
for i in range(1,n+1):
m *= i
print(n,"的阶乘是%d" % m)
现在我们运用递归的思想来求解阶乘的问题：
n! = n*(n-1)(n-2)*…*2*1=n(n-1)!=n*(n-1)*(n-2)!=…由此类推
相信大家应该已经都看懂了
因此我们写出下面代码
#python
def Factorial(n): # 给定n
if n == 0: # n为1是返回1
return 1
else :
return n*Factorial(n-1) #进行n的阶乘，划分成子问题求解
用n=4来看看它的每一步：（先红色箭头进入，到绿色箭头一步步输出到最终结果）
五、递归解决问题的关键
关键就两部分：
1.找出递推公式
2.找到递归终止条件
注意事项：
由于函数的局部变量是存在栈上的，如果有体积大的局部变量，比如数组，而递归层次可能深入的情况下，也许会导致栈溢出
因此可以考虑使用全局数组或动态数组分配数组
递归一共有两篇，下一篇我将用实例来更深入的讲解递归
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