程序员面试金典 - 面试题 10.10. 数字流的秩（map/树状数组）

1. 题目

假设你正在读取一串整数。每隔一段时间，你希望能找出数字 x 的秩(小于或等于 x 的值的个数)。

请实现数据结构和算法来支持这些操作，也就是说：

• 实现 track(int x) 方法，每读入一个数字都会调用该方法；

• 实现 getRankOfNumber(int x) 方法，返回 小于或等于 x 的值的个数。

示例:
输入:
["StreamRank", "getRankOfNumber", "track", "getRankOfNumber"]
[[], [1], [0], [0]]
输出:
[null,0,null,1]

提示：
x <= 50000
track 和 getRankOfNumber 方法的调用次数均不超过 2000 次

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/rank-from-stream-lcci
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2. 解题

• 类似题目：LeetCode 315. 计算右侧小于当前元素的个数（二叉查找树&二分查找&归并排序逆序数总结）

2.1 map

• map 存储自己的个数，写入时间复杂度 $O(\log n)$
• 读取秩的时候，从前往后遍历加起来（小于等于x的） $O(n)$ 时间复杂度

class StreamRank {
	map<int,int> m;
	int count = 0;
public:
    StreamRank() {}
    
    void track(int x) {
    	m[x]++;
    }
    
    int getRankOfNumber(int x) {
    	count = 0;
    	for(auto& mi : m)
    	{
    		if(x >= mi.first)
    			count += mi.second;
    		else
    			break;
    	}
    	return count;
    }
};

108 ms 13.9 MB

• map 存储前面小于等于它的个数，读取秩的时间复杂度 $O(\log n)$
• 插入数以后，需要更新所有的 map 的 value，时间复杂度 $O(n)$

class StreamRank {
	map<int,int> m;
public:
    StreamRank() {}
    
    void track(int x) {
        auto it = m.rbegin();
		for(; it != m.rend(); ++it)
		{
			if(it->first > x)
				it->second++;//有比x大的，他们的value（比它小的个数） +1
			else
				break;
		}
        if(it == m.rend() || (it != m.rend() && it->first == x))
            m[x]++; // map遍历到头了，x不存在，或者x存在
        else
            m[x] = it->second + 1;//遍历没到头，x不存在，x 的 value = 前一个value + 自己
    }
    
    int getRankOfNumber(int x) {
    	if(m.empty() || x < m.begin()->first)
    		return 0;
    	if(m.count(x))
    		return m[x];
    	auto end = m.upper_bound(x);
    	end--;
    	return end->second;
    }
};

120 ms 14 MB

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2.2 树状数组

上面解法：在 n 次操作下的时间复杂度为 $O(n^2)$

如何优化：请看树状数组，一次查询和修改时间复杂度均为 $O(\log n)$

class StreamRank {
    vector<int> v;
    int N = 50002;
public:
    StreamRank() {
        v = vector<int>(N);
    }
    
    void track(int x) {
        update(x+1, 1);
    }
    
    int getRankOfNumber(int x) {
        return query(x+1);
    }
    //-----树状数组-------
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    void update(int i, int delta)
    {
        for( ; i < N; i += lowbit(i))
            v[i] += delta;
    }
    int query(int i)
    {
        int sum = 0;
        for( ; i > 0; i -= lowbit(i))
            sum += v[i];
        return sum;
    }
};

44 ms 20.6 MB