分享一道最近刷到的面试题：
有一种玻璃杯质量确定但未知，需要检测。
有一栋100层的大楼，该种玻璃杯从某一层楼扔下，刚好会碎。
现给你两个杯子，问怎样检测出这个杯子的质量，即找到在哪一层楼刚好会碎？
看到这道题的时候我自然地想，从一楼开始扔起...这还不简单？然而之前面试挂掉的经验让我知道，这时候面试官一定会问：
“你再多想想？有没有更快的方法？”
首先要分析一下题目，和面试官争取一波思考的时间：
1、两个杯子质量一样；
2、如果杯子在第N楼扔下去没有碎，那在小于N楼扔下去也不会碎；
3、如果杯子在第N楼扔下去碎了，那就得往小于N楼继续检验（但杯子只有两个）；
4、如果杯子扔下去没碎，还能反复利用。
总的来说就是，通过有限的两个杯子，快速找到在第N-1楼扔下去不碎而第N楼扔下去会碎的这个楼层N。
方案一：二分法
这不就是查找吗，不过得保证在杯子用完之前能找到这个楼层，作为一个朴实的算法菜鸟，我首先就想到了——二分法：
先从50楼扔下去一个杯子，没碎的话就往上走，从75楼扔下去，没碎就继续，直到找到刚刚好碎掉的楼层。然而事情不会这么顺利，在这种方案下我们只能往上走。一旦第一个杯子碎了，就得从最低楼层往上找了，比如说：我从50楼扔下去，没碎，再从75楼扔下去，碎了，这时候只能从51层开始往上尝试，如果刚好结果是74楼的话，总共得扔1+24=25次。所以最坏的情况也出来了：从50楼扔下去，碎了，然后乖乖从1楼开始往上试，如果刚好结果是49楼的话，总共得扔1+49=50次。
面试官：“还行，次数少了一半了，你再多想想？”
方案二：分段查找
如果二分不行，那就把区间分得比二分再细一些，也就是分段地扔，比如说把100楼分成10段，从10楼开始往上，逐十楼地扔。
这样最好的情况是：从10楼扔下去刚好碎了，从1楼开始试，假如恰好在9楼碎了，那总共得扔1+9=10次。
最差的情况是：从10楼开始扔，没碎，继续走到20楼开始扔，也没碎，一直到了100楼扔下去碎了，然后从91楼开始往上尝试，假如恰好在99楼碎了，总共得扔10+9=19次。
面试官：“可以，更快了，但我不想多跑几次，能不能告诉我最少扔几次就能确定出楼层？”
方案三：解方程
这么说有理论上的最少尝试次数？其实从前面两种方案能够看出我们试错的规律：假如我只需要扔x次，那必须得从第x楼开始扔，这是因为碎了的话，我还可以尝试前面的x-1楼，确保能够找到目标楼层。那根据碎和不碎就有两种情况：
- 如果第一个杯子从x楼扔下去碎了，第二次就从x+（x-1）楼开始尝试，如果还没碎，那第三次就到x+（x-1）+（x-2）楼尝试，就依此类推......
- 如果中途碎了，我们有x-m次尝试机会回去尝试，能够以少于x-m次机会找到目标楼层。
假如经过x次尝试能够到达的最高楼层就是x+（x-1）+（x-2）+ ... +1=x（x+1）/2，如果最高楼层是100，那求解x（x+1）/2>=100，得到x>=14，即按上述方案至多尝试14次就能确保找到目标楼层，所以最少尝试次数就是14次。
相信此时面试官已经满意了，但是我不满意了。
“万一下次它问我3个杯子怎么办？再多想想？”
方案四：动态规划推广
当我们只有一个杯子的时候，其实能做的事情只有从低楼层开始往上尝试。有了两个以上的杯子就有了多次试错的机会，减少尝试的次数。如果只要找到最优解，那可以通过动态规划，将N个杯子的问题拆成N-1个杯子的子问题和1个用于试错的杯子。
将问题标记为W（n,k），其中 n 代表可用于测试的杯子数，k 代表被测试的楼层数。
对于问题 W（2,100）， 我们可以如此考虑：
-
将第 1 个杯子，在第 i 楼扔下（ i 可以为 1～k 的任意值），如果碎了，则我们需要用第 2 个杯子，解决从第 1 楼到第 i-1 楼的 子问题 W（1,i-1）；
-
如果这个杯子没碎，则我们需要用这两个杯子，解决从 i+1 楼到第 100 楼的子问题 W（2,100-i）。
解决上述的两个子问题后，我们可以取两者中尝试次数最多的方案（排除掉因为欧气快速找到楼层的情况，确保能够找到目标楼层），与在第 i 楼尝试的这次相加，即得到了在第 i 层扔下杯子时 W（2,100）这个问题的最少尝试次数。
而在所有杯子从100楼中任意楼层扔下去，产生的100个测试方案，它们的尝试次数恒大于等于一个理论上最少的尝试次数T，这个T就是本问题的答案。
递推公式：
W(n, k) = 1 + min{max(W(n -1, x -1), W(n, k - x))}, x in {2, 3, ……，k}同理，我们可以拓展N个杯子、M个楼层的问题！
我：“我还能想，别拦着我！”
