离散型随机变量及其分布律(知识点部分)

$1.$离散型随机变量

把全部可能取到的值是有限个或可列无限个的随机变量称为离散型随机变量.

$2.$离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量 $X$所有可能取的值为 $x_k(k=1,2,...)$， $X$取各个可能值的概率，即事件{ $X=x_k$}的概率，为 $P(X=x_k)=p_k,k=1,2,...$
称上式为离散型随机变量 $X$的分布律.分布律也可以用表格的形式来表示 $\begin{array}{c|cccccc} X & x_1 & x_2 & ... & x_n & ...\\ \hline p_k & p_1 & p_2 & ... & p_n & ... \end{array}$

$3.$ $(0-1)$分布

设随机变量只可能取 $0$与 $1$两个值，它的分布律是 $\mathrm{P}\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k},,k=0,1 (0<p<1)$
则称 $X$服从以 $p$为参数的分布或两点分布.
$(0-1$分布的分布律也可写成 $\begin{array}{c|cc} X & 0 & 1 \\ \hline p_{k} & 1-p & p \end{array}$

$4.$伯努利试验、二项分布

设试验 $E$只有两个可能结果： $A及{\overline{A}}$，则称 $E$为伯努利试验.
设 $P(A)=p(0<p<1)$,此时 $p(\bar{A})=1-p$.将独立重复地进行 $n$次，则称这一串重复的独立试验为 $n$重伯努利试验.
以 $X$表示 $n$重伯努利试验中事件 $A$发生的次数，那么在 $n$次试验中发生 $k$次的概率为 $C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$，记 $q=1-p$，即有 $\mathrm{P}\{X=k\}=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n.$
称随机变量 $X$服从参数为 $n,p$的二项分布，记为 $\begin{aligned}&X \sim b(n,p)\\\end{aligned}$

$5.$泊松分布

设随机变量 $X$所有可能取的值为 $0,1,2,...$，而取各个值的概率为 $\begin{aligned} &P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}, k=0,1,2, \ldots\\\end{aligned}$
其中 $\lambda>0$是常数，则 $X$称服从参数为 $\lambda$的泊松分布，记为 $\begin{aligned}&X \sim \pi(\lambda)\\\end{aligned}$

$6.$泊松定理

设 $\lambda>0$是一个常数， $n$是任意正整数，设 $np_n=\lambda$，则对于任一固定的非负整数 $k$，有

$\begin{aligned}&\lim _{n \rightarrow \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} =\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !} \end{aligned}$
上述定理表明当 $n$很大， $p$很小 $(np=\lambda)$时有以下近似式 $C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\approx\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}(其中\lambda=np)$

$7.$随机变量的分布函数

设 $X$是一个随机变量， $x$是任意实数，函数 $\begin{aligned} &F(x)=P\{X \leq x\},-\infty<x<\infty\\\end{aligned}$
称为 $X$的分布函数.
对于任意实数 $x_1,x_2(x_1<x_2)$，有
$\begin{aligned}&P\left\{x_{1}<X \leq x_{2}\right\}=P\left\{X \leq x_{2}\right\}-P\left\{X \leq x_{1}\right\}=F\left(x_{2}\right)-F\left(x_{1}\right), \end{aligned}$

$8.$几何分布

进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $1-p$.将试验进行到出现一次成功为止，以 $X$表示所需的试验次数， $X$的分布律为 $\begin{aligned} &P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,3,...\end{aligned}$称 $X$服从以 $p$为参数的几何分布.

$9.$帕斯卡分布(负二项分布)

进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $1-p$.将试验进行到出现 $r$次成功为止，以 $X$表示所需的试验次数， $X$的分布律为 $\begin{aligned} &P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1} p^{r}(1-p)^{k-r},k=r,r+1,...\end{aligned}$称 $X$服从以 $p$为参数的帕斯卡分布或负二项分布.