Tsai等在文献中指出的，手眼标定问题其实就是求解AX=XBAX=XB方程问题。其中AA为机器人末端连杆坐标架在机器人-摄像机系统移动前后的转换关系，BB为摄像机坐标架在移动前后的相对关系。Tsai指出要唯一确定手眼矩阵的各分量，至少需要旋转轴不平行的两组运动。由于在观测中一般存在噪声，因此在实际测量中一般需要多组运动来求解该方程。
假设有多组观测值{(A1,B1),(A2,B2),⋯,(Ak,Bk)}{(A1,B1),(A2,B2),⋯,(Ak,Bk)}，求解AX=XBAX=XB方程可以转化为如下最小化问题
其中，dd表示在欧式群上的距离测度。利用李群理论知识可以将上述最小化问题转化为最小二乘拟合问题，从而可以得到简单而又明确的解。下面介绍李群中的基本知识。
李群基本知识
描述刚体运动可以用欧式群表示，由如下形式的矩阵表示：
其中，θ∈SO(3),b∈R3θ∈SO(3),b∈ℜ3，SO(3)SO(3)表示旋转矩阵组成的群。
每个李群都有其对应的李代数，李群与李代数之间的转换可以由指数映射和对数映射完成。由于本人数学知识比较单薄，如果读者想要继续深入理解李群和李代数知识，可以自行查阅相关文献或者书籍。在这里我就不详细介绍，只简单介绍Park文献中出现的知识。
指数映射
李代数到李群的转换满足指数映射关系，假设[w]∈so(3)[w]∈so(3)，而exp[w]∈SO(3)exp[w]∈SO(3)，则其指数映射满足罗德里格斯公式：
对数映射
李群到李代数的转换满足对数映射关系，假设θ∈SO(3)θ∈SO(3)，则其对数映射为：
其中，1+2cosϕ=tr(θ)1+2cosϕ=tr(θ)。
利用李群知识求解AX=XB
我们知道，手眼标定问题其实就是求解方程AX=XBAX=XB，将XX移到方程的右边，可以得到A=XBXTA=XBXT，根据上文介绍的对数映射关系，在方程的两边取对数，则可以得到
令 logA=[α],logB=[β]logA=[α],logB=[β]，则上式可以化为 [α]=X[β]XT=[Xβ][α]=X[β]XT=[Xβ]，从而
AX=XBAX=XB写成矩阵形式为
将上式展开可以得到
与Tsai手眼标定类似，同样采用“两步法”求解上述方程，先解算旋转矩阵，再求得平移向量。由上面推导 α=Xβα=Xβ，因此 θAθX=θXθBθAθX=θXθB可以写成 α=θXβα=θXβ。当存在多组观测值时，求解该方程可以转化为下面最小二乘拟合问题：
很显然，上述问题是典型的绝对定向问题，因而求解上式与绝对定向相同，其解为
其中， M=∑i=1kβiαiTM=∑i=1kβiαiT 。
然而，上式的求解是有条件的，即MM不奇异，因而当AA、BB只有两组时，不能用上述方法求解。
当只有两组AA、BB时，即有A1,A2,B1,B2A1,A2,B1,B2，
旋转矩阵的解为：
其中， M=(α1α2α1×α2),N=(β1β2β1×β2)M=(α1α2α1×α2),N=(β1β2β1×β2) ， ×× 表示叉乘。
在求得旋转矩阵后，求解平移向量的步骤与Tsai手眼标定相同，读者可以查看上篇文献，这里就不在赘述。
算法源代码
根据上述基本计算步骤，在利用OpenCV 2.0开源库的基础上，编写Tsai手眼标定方法的c++程序，其实现函数代码如下：
void Navy_HandEye(Mat Hcg, vector<Mat> Hgij, vector<Mat> Hcij)
{
CV_Assert(Hgij.size() == Hcij.size());
int nStatus = Hgij.size();
Mat Rgij(3, 3, CV_64FC1);
Mat Rcij(3, 3, CV_64FC1);
Mat alpha1(3, 1, CV_64FC1);
Mat beta1(3, 1, CV_64FC1);
Mat alpha2(3, 1, CV_64FC1);
Mat beta2(3, 1, CV_64FC1);
Mat A(3, 3, CV_64FC1);
Mat B(3, 3, CV_64FC1);
Mat alpha(3, 1, CV_64FC1);
Mat beta(3, 1, CV_64FC1);
Mat M(3, 3, CV_64FC1, Scalar(0));
Mat MtM(3, 3, CV_64FC1);
Mat veMtM(3, 3, CV_64FC1);
Mat vaMtM(3, 1, CV_64FC1);
Mat pvaM(3, 3, CV_64FC1, Scalar(0));
Mat Rx(3, 3, CV_64FC1);
Mat Tgij(3, 1, CV_64FC1);
Mat Tcij(3, 1, CV_64FC1);
Mat eyeM = Mat::eye(3, 3, CV_64FC1);
Mat tempCC(3, 3, CV_64FC1);
Mat tempdd(3, 1, CV_64FC1);
Mat C;
Mat d;
Mat Tx(3, 1, CV_64FC1);
//Compute rotation
if (Hgij.size() == 2) // Two (Ai,Bi) pairs
{
Rodrigues(Hgij[0](Rect(0, 0, 3, 3)), alpha1);
Rodrigues(Hgij[1](Rect(0, 0, 3, 3)), alpha2);
Rodrigues(Hcij[0](Rect(0, 0, 3, 3)), beta1);
Rodrigues(Hcij[1](Rect(0, 0, 3, 3)), beta2);
alpha1.copyTo(A.col(0));
alpha2.copyTo(A.col(1));
(alpha1.cross(alpha2)).copyTo(A.col(2));
beta1.copyTo(B.col(0));
beta2.copyTo(B.col(1));
(beta1.cross(beta2)).copyTo(B.col(2));
Rx = A*B.inv();
}
else // More than two (Ai,Bi) pairs
{
for (int i = 0; i < nStatus; i++)
{
Hgij[i](Rect(0, 0, 3, 3)).copyTo(Rgij);
Hcij[i](Rect(0, 0, 3, 3)).copyTo(Rcij);
Rodrigues(Rgij, alpha);
Rodrigues(Rcij, beta);
M = M + beta*alpha.t();
}
MtM = M.t()*M;
eigen(MtM, vaMtM, veMtM);
pvaM.at<double>(0, 0) = 1 / sqrt(vaMtM.at<double>(0, 0));
pvaM.at<double>(1, 1) = 1 / sqrt(vaMtM.at<double>(1, 0));
pvaM.at<double>(2, 2) = 1 / sqrt(vaMtM.at<double>(2, 0));
Rx = veMtM*pvaM*veMtM.inv()*M.t();
}
//Computer Translation
for (int i = 0; i < nStatus; i++)
{
Hgij[i](Rect(0, 0, 3, 3)).copyTo(Rgij);
Hcij[i](Rect(0, 0, 3, 3)).copyTo(Rcij);
Hgij[i](Rect(3, 0, 1, 3)).copyTo(Tgij);
Hcij[i](Rect(3, 0, 1, 3)).copyTo(Tcij);
tempCC = eyeM - Rgij;
tempdd = Tgij - Rx * Tcij;
C.push_back(tempCC);
d.push_back(tempdd);
}
Tx = (C.t()*C).inv()*(C.t()*d);
Rx.copyTo(Hcg(Rect(0, 0, 3, 3)));
Tx.copyTo(Hcg(Rect(3, 0, 1, 3)));
Hcg.at<double>(3, 0) = 0.0;
Hcg.at<double>(3, 1) = 0.0;
Hcg.at<double>(3, 2) = 0.0;
Hcg.at<double>(3, 3) = 1.0;
}