【Lintcode】184. Largest Number

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/largest-number/description

给定一个数组，要求将这些数全部拼接起来，问能拼出的最大数是多少。返回那个数的字符串形式即可。

首先，如果给定数字构成的两个字符串 $s_1$和 $s_2$，那么很容易判断 $s_1+s_2$和 $s_2+s_1$形成的数字哪个更大。我们对字符串规定一个序，如果上面两个形成的数字前者大，那么就规定 $s_1<s_2$，如果后者大则不等号反向，如果一样大则规定两个字符串相等。
我们首先证明，这确实是个偏序关系：自反性和反对称性显然；对于传递性，如果 $s_1\le s_2$并且 $s_2\le s_3$，我们要证明 $s_1\le s_3$。以下所有式子，我们直接以 $s$来表示字符串 $s$代表的数字，令 $l_i$代表 $s_i$的长度。那么问题转化为：已知： $s_110^{l_2}+s_2\ge s_210^{l_1}+s_1\\s_210^{l_3}+s_3\ge s_310^{l_2}+s_2$要证明： $s_110^{l_3}+s_3\ge s_310^{l_1}+s_1$由已知得： $s_1(10^{l_2}-1)\ge s_2(10^{l_1}-1)\\s_2(10^{l_3}-1)\ge s_3(10^{l_2}-1)$所以 $s_1(10^{l_2}-1)(10^{l_3}-1)\ge s_3(10^{l_1}-1)(10^{l_2}-1)$即 $s_1(10^{l_3}-1)\ge s_3(10^{l_1}-1)$整理即得。
显然任意两个字符串都是可比较的，所以这个偏序关系是个全序关系。而题目给定的数字肯定只有有限个，所以可以证明这个关系也是个良序关系，所以就可以进行排序了。

接着只需证明排好序后一个接着一个拼接起来所得的数就是最大数。可以用反证法。假设 $s_1\le s_2\le ...\le s_n$，但存在一种拼接使得 $i<j$，但 $s_i$的位置在 $s_j$的后面的拼接方式能得到更大的数，由于显然数字 $s_i+s_{i+1}...+s_{j-1}+s_j\ge s_j+s_{i+1}...+s_{j-1}+s_i$（因为让不等号左边的 $s_i$不停向后挪动一直挪到尾部，再将 $s_j$不停向前挪动一直挪到头部，就得到了不等号右边。然而，每次挪动都会使得数字变小或不变，绝不可能使得数字变大），这就矛盾了。证明完毕。

代码如下：

import java.util.Arrays;

public class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of non negative integers
     * @return: A string
     */
    public String largestNumber(int[] nums) {
        // write your code here
        String[] numbers = new String[nums.length];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            numbers[i] = String.valueOf(nums[i]);
        }
    
        Arrays.sort(numbers, (n1, n2) -> (n2 + n1).compareTo(n1 + n2));
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (String number : numbers) {
            sb.append(number);
        }
     
     	// 删掉开头的0
        int i = 0;
        while (i < sb.length() && sb.charAt(i) == '0') {
            i++;
        }
        
        // 如果sb全是0，那显然返回0；否则返回前置0去掉后的子串
        if (i == sb.length()) {
            return "0";
        } else {
            return sb.substring(i);
        }
    }
}

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间 $O(n)$。