二维变换矩阵

二维平面上常见的三种几何变换

• 平移
• 缩放
• 旋转

平移

在二维平面上每个点可以用$(x,y)$表示，假设有一点$P(x,y)$,它平移到$P'(x',y')$，则相应的数学表达式子为：

$$P'=P+\Delta P\\ \left [ \begin{matrix} x' \\y' \end{matrix}\right]=\left [ \begin{matrix} x \\y \end{matrix}\right]+\left [ \begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right] =\left [ \begin{matrix} x+\Delta x \\ y + \Delta y \end{matrix}\right]$$
例如，点 $(1,1)$ 平移到 $(2,3）$ 需要相应的 $\Delta P =\left [ \begin{matrix} 1\\ 2\end{matrix}\right ]$

缩放

假设有一点$P(x,y)$,它缩放到$P'(x',y')$，则相应的数学表达式子为：

$$P'=SP\\ \left [ \begin{matrix} x' \\y' \end{matrix}\right]=\left [ \begin{matrix} S_x & 0 \\0 & S_y \end{matrix}\right]\left [ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] =\left [ \begin{matrix} xS_x \\ yS_y \end{matrix}\right]$$
其中， $S$代表缩放的矩阵。

旋转

二维平面是上的旋转矩阵如下，

$$R = \left [ \begin{matrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\-sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{matrix}\right]$$
想要知道详细这个矩阵的详细推导可以看这篇博客；
那么，假设有一点 $P(x,y)$,它绕着原点旋转到 $P'(x',y')$，则相应的数学表达式子为：
$$P'=RP\\ \left [ \begin{matrix} x' \\y' \end{matrix}\right]=\left [ \begin{matrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\-sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{matrix}\right]\left [ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] =\left [ \begin{matrix} xcos(\alpha)+ysin(\alpha) \\-xsin(\alpha) +ycos(\alpha) \end{matrix}\right]$$

齐次坐标系的引入

在二维平面上，缩放和旋转通过乘法实现，平移是通过加法实现，这样计算是很麻烦地！为了规范二维平面上的几何变换，数学家们引入了齐次坐标的概念。
齐次坐标的是什么呢？直观上来讲就是在原来的维度上面再添加一个维度，且多出的维度一直是1，例如：

$$P = \left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$$

则上述平移过程中的$\Delta P$在齐次坐标系的表达方式为：

$$\Delta P = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta x \\ 0 & 1 & \Delta y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]$$
利用齐次坐标系，平移过程的数学表达式为：
$$P'=\Delta P \times P\\ \left [ \begin{matrix} x' \\y' \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta x \\ 0 & 1 & \Delta y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left [ \begin{matrix} x \\ y \\ 1\end{matrix}\right] =\left [ \begin{matrix} x+\Delta x \\ y + \Delta y \\ 1 \end{matrix}\right]$$

上述缩放过程中，$S$在齐次坐标系中的表达方式为：

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$$S = \left[ \begin{matrix} S_x & 0 & 0 \\ S_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]$$
则缩放过程的数学表达式为：

$$P'=S \times P\\ \left [ \begin{matrix} x' \\y' \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} S_x & 0 & 0 \\ S_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left [ \begin{matrix} x \\ y \\ 1\end{matrix}\right] =\left [ \begin{matrix} xS_x \\ y S_y \\ 1 \end{matrix}\right]$$

同理，上述旋转过程中的旋转矩阵$R$在其次坐标系统的表达方式为：

$$S = \left[ \begin{matrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]$$
则旋转过程的数学表达式为：
$$P'=R \times P\\ \left [ \begin{matrix} x' \\y' \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left [ \begin{matrix} x \\ y \\ 1\end{matrix}\right] =\left [ \begin{matrix} xcos(\alpha) + ysin(\alpha) \\ -xsin(\alpha)+ycos(\alpha) \\ 1 \end{matrix}\right]$$

至此，二维平面上所有几何变换都可以通过乘法实现。比如，在二维平面上要实现绕着某个点$P(x,y)$旋转,需要以下三个步骤完成：

• 将图形平移到原点
• 对图形进行旋转
• 将图形平移回原来的位置

没有利用齐次坐标系的话，变换过程的数学公式为：

$$P' = R(P+\Delta P)+(-\Delta P) \\ = \left [ \begin{matrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\-sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{matrix}\right] \left( \left [ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] + \left [ \begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right] \right) -\left [ \begin{matrix} \Delta x \\ \Delta y \end{matrix}\right]$$
利用齐次坐标系的话，变换过程的数学公式为：
$$P' = (-\Delta P)\times R\times \Delta P\times P \\ =- \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta x \\ 0 & 1 & \Delta y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta x \\ 0 & 1 & \Delta y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$$

下面用根据本篇文章的知识，利用Python实现一个正方形绕着中心点旋转45度的例子。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def poly_gen(x0=(10,10),length = 20):
    poly = []
    x = x0[0]
    y = x0[1]
    for _ in range(length):
        y += 1
        poly.append(np.array([x,y,1]))

    x = x0[0]
    y = x0[1]
    for _ in range(length):
        x += 1
        poly.append(np.array([x,y,1]))
    x = x0[0]+length
    y = x0[1]
    for _ in range(length):
        y += 1
        poly.append(np.array([x,y,1]))

    x = x0[0]
    y = x0[1]+length
    for _ in range(length):
        x +=1
        poly.append(np.array([x,y,1]))

    center = np.array([x0[0]+length/2,x0[1]+length/2])

    return poly, center

def translation(poly,dx,dy):
    T = np.array([[1,0,dx],
                  [0,1,dy],
                  [0,0,1]])

    poly_trans = []
    for x in poly:
        poly_trans.append(np.dot(T,x))
    return poly_trans

def rotation(poly,theta):
    R = np.array([[np.cos(theta), np.sin(theta),0],
                  [-np.sin(theta),np.cos(theta),0],
                  [0,0,1]])
    poly_rotation = []
    for x in poly:
        poly_rotation.append(np.dot(R,x))
    return  poly_rotation

if __name__=='__main__':

    fig1=plt.figure()
    poly, center = poly_gen()
    for x in poly:
        plt.scatter(x[0],x[1])

    plt.xlim(0,50)
    plt.ylim(0,50)

    fig2=plt.figure()
    poly_trans = translation(poly,-center[0],-center[1])
    poly_rotation = rotation(poly_trans, np.pi / 4.)
    poly_trans = translation(poly_rotation,center[0],center[1])
    for x in poly_trans:
        plt.scatter(x[0],x[1])
    plt.xlim(0,50)
    plt.ylim(0,50)
    plt.show()

其运行的结果如下：