参考:《大话数据结构》
二叉树的性质
**二叉树的定义:**二叉树由n个节点所构成的集合,该集合或者为空集,或者由一个根节点和两颗互不相交的,分别为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的基本性质:
- 性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点;
- 性质2:深度为k的二叉树至多有(2^k)-1个节点;
- 性质3:对任何一颗二叉树T,如果其叶子节点数为n,那么度为2的节点为n-1;
**满二叉树:**深度为k且含有2^k)-1节点的二叉树
**完全二叉树:**深度为k的,有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中的编号从1~n的节点一一对应时,称为完全二叉树。其特点为:(1)叶子节点只可能在层次最大的两层上出现;(2)对任何一个节点,若其右分支下的子孙的最大层次为l,那么其左分支下的子孙的最大层次必为l或者为l+1;
性质4:具有n个节点的完全二叉树的深度为【[log2n]+1】([]为取整函数);
性质5:如果对一颗有n个节点的二叉树(其深度为[log2n]+1)的节点按层序编号,则对任一节点i,有(1)如果i=1,则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1, 则其双亲是节点i/2;(2)如果2i>n,如果节点为叶子节点,那么无左孩子;否则其左孩子为2i;(3)如果2i+1>n,那么节点i无右孩子(节点i为叶子节点);否则其右孩子是节点2i+1;
二叉树的链式存储结构
typedef struct BITreeNode {
char date;
struct BITreeNode *lchild;
struct BITreeNode *rchild;
}BiTreeNode,*BinTree;
二叉树的链表节点至少包含3个域:数据域、左与右指针域。容易证明,在含有n个节点我的二叉链表中有n+1个空链域。
二叉树的创建
先序输入
//先序创建二叉树
BinTree createBinTree_Preorder(){
BinTree T; //新建一个节点
int date; //节点的数据域
scanf("%d",&date); //输入数据域
if(date==0){ //输入0时代表为空节点
T==NULL;
}else //递归输入二叉树
{
T=(BinTree)malloc(sizeof(BiTreeNode)); //分配内存
T->date == date; //输入数据①
createBinTree_Preorder(T->lchild); //递归左子树②
createBinTree_Preorder(T->rchild); //递归右子树③
}
return T;
}
使用递归的思想先序创建二叉树,其中输入要输入满二叉树,对于空节点以0表示,中序,后序,代码只需要改变上述①②③次序。
层序输入
// 层序输入二叉树
BinTree createBinTree_Sequence(){
int temp_date; //新建一个数据域变量
BinTree Queue[100]; //创建结构体数组,用于模拟队列
BinTree temp; //创建临时节点
int head = 0; //相当于头指针
int tail = 0; //相当于尾指针
scanf("%d" , &temp_date); //输入数据域
BinTree tmp = (BinTree)malloc(sizeof(BiTreeNode)); //创建头节点,分配内存
if(temp_date == 0){ //节点为空
return NULL;
}else{ //输入第一个节点
tmp->lchild = tmp->rchild = NULL;
tmp->date = temp_date;
Queue[tail++] = tmp; //将当前头节点入队,并将尾指针+1
}
while(head<tail){ //判断队列不为空
scanf("%d" , &temp_date); //输入左节点数据域
if(temp_date == 0){ //左子树为空节点
Queue[head]->lchild = NULL;
}else{ //左子树不为空
temp = (BiTreeNode*)malloc(sizeof(BiTreeNode)); //分配内存
temp->lchild = temp->rchild = NULL;
temp->date = temp_date;
Queue[head]->lchild = temp; //将当前节点赋值给父节点
Queue[tail++] = temp; //将当前头节点入队,并将尾指针+1
}
scanf("%d" , &temp_date); //输入右节点,右子树与左子树一致
if(temp_date == 0){
Queue[head]->rchild = NULL;
}else{
temp = (BiTreeNode*)malloc(sizeof(BiTreeNode));
temp->lchild = temp->rchild = NULL;
temp->date = temp_date;
Queue[head]->rchild = temp;
Queue[tail++] = temp;
}
head++; //将父节点出队
}
return tmp;
}
层序输入需要用一个数组来模拟队列,通过入队出队来实现二叉树的层序输入。
二叉树的遍历
递归般的中序遍历
void InOrderTrversal(BiTreeNode *BinTree){
if(BinTree!=NULL) {
InOrderTrversal(BinTree->lchild);
printf("%d ",BinTree->date);
InOrderTrversal(BinTree->rchild);
}
}
使用递归,代码较好理解
非递归版中序遍历
//中序遍历(非递归)二叉树
void InOrderTrverse(BinTree BT){
BinTree p , q; //p节点用于循环遍历整颗树 , q节点用于输出某个节点值
p = BT;
int top = -1; //初始化栈顶指针
BinTree Stack[100]; //用数组模拟栈
while(p || top!=-1){ //当p不为空或者栈不为空
if(p){ //当p不为空时先一直遍历左子树
top++;
Stack[top] = p; //入栈
p = p->lchild; //指向下一个左孩子
}else{
q = (BinTree)malloc(sizeof(BiTreeNode));
q = Stack[top]; //将当前树的最左节点入栈
top--; //栈顶指针-1
printf("%d" , q->date);
p = q->rchild; //此时q节点为当前最小树的根节点,将p指向p的右子树
}
}
}
使用非递归遍历需要使用一个数组来模拟栈的出栈入栈操作,从根节点开始一直入栈到最左子树,然后出栈,将该节点的右子树入栈,一直重复这个操作。