离散数学是计算机专业很重要的基础课程，是后续数据结构，算法的基础。在学习数据结构的时候，接触到图论算法的时候，遇到了困难。于是决定回来学习离散数学。离散数学（课本）包括了数理逻辑、集合论、计数技术、关系、树、图和布尔代数等。每个章节都是数学与算法的基础，都接触过，但都没有太过深入。唯一一节算是深入了一点的应该就是布尔代数了，这在学习数字电路时是详细学习过的。所以我计划花费大概半个月时间看完《离散数学及其应用》（本科教学版，Kenneth H.Rosen著，原书第七版）。同时囫囵记上几篇笔记。

这是离散数学系列的第一篇，讨论命题逻辑与推理证明，其是数学中推理与证明的理论基础。理解数理逻辑（mathematical logic），领会并构造数学论证是学习目的。早在高中时便对数理逻辑有了简单的讨论，这里相较来说更为深入一点。包含命题逻辑、谓词与量词逻辑、推理和证明。对于比较简单的定义推理是省略的，详细资料请参考相关书籍。

命题逻辑

何为命题

定义：命题是一个能判断真假的陈述句。

既然能判断真假，就意味着一个命题或者为真，或者为假，不能既真又假。
例如：“地球是圆的”，“太阳系有八大行星”，“时间是静止的”，都是命题，其中前两个命题为真，后一个为假。

我们一般使用命题变元来表示命题，如 $p$ ， $q$ ， $r$ ， $s$ ， $t$ …

如果命题为真命题，则称其真值为真，记作 $T$ （即True）。反之，假记作 $F$ （即False）。

逻辑运算符

写法、读法及真值如下表：

逻辑运算符	符号	意义	读法	真值	$LaTeX$ 语法
合取	$p\land q$	$p$ 和 $q$ 的合取	$p$ 且 $q$	$p$ 、 $q$ 同为真时为真，有一个为假则为假	\land
析取	$p\lor q$	$p$ 和 $q$ 的析取	$q$ 或 $q$	$p$ 、 $q$ 同为假时为假，有一个为真则为真	\lor
否定	$\lnot p$	$p$ 的否定	非 $p$	$\lnot q$ 与 $q$ 真值相反	\lnot
异或	$p\oplus q$	$p$ 和 $q$ 的异或	$p$ 异或 $q$	$p$ 、 $q$ 真值相同为假，相异为真	\oplus

条件命题

逻辑连接词	命题	含义（表达）	真值	$LaTeX$ 语法
$\to$	$p\to q$	$p$ 蕴含 $q$ 、如果 $p$ ，则 $q$ 、等	$p$ 真 $q$ 假时为假，其余情况为真	\to 或 \rightarrow
$\leftrightarrow$	$p\leftrightarrow q$	$p$ 双向蕴含 $q$ 、 $p$ 当且仅当 $q$ 、等	$p$ 、 $q$ 真值相同为真，相异为假	\leftrightarrow

命题语言是一种人工语言，并不以自然语言的用法为基础。
数学中命题语言较自然语言范围更加宽泛。
数学中的条件语句是一个数学概念，并不依赖于假设与结论之间的因果关系。

$p \to q$ 表达的是 $p$ 能推出 $q$ 的含义，即是： $p$ 是 $q$ 的充分条件。这是一个命题，真假待判断。
同理， $p \leftrightarrow q$ 表示 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

由条件命题（ $p \to q$ ）可以构造出一些新的条件命题，如它的逆命题（ $q \to p$ ），否命题（ $\lnot p \to \lnot q$ ），逆否命题（ $\lnot q \to \lnot p$ ）。

复合命题

由逻辑连接词 $\lnot$ , $\land$ , $\lor$ , $\to$ , $\leftrightarrow$ 连接的命题称为复合命题。符合命题的真值由复合命题中各命题变元所确定。

一个真值永远为真的复合命题称为永真式或重言式，恒为假则称为矛盾式。

逻辑连接词具有优先级 $\lnot$ , $\land$ , $\lor$ , $\to$ , $\leftrightarrow$ 从左到右依次降低。

命题等价

在所有情况下都有相同真值（真值表完全相同）的两个命题称为是逻辑等价的。

学习了双条件语句后，也可以如此定义：
如果 $p\leftrightarrow q$ 为永真式，则 $p$ 和 $q$ 称为逻辑等价的。记作 $p \equiv q$ 或者 $p\iff q$ 。

注意：其中 $\equiv$ 并不是逻辑连接词， $p \equiv q$ 不再是一个复合命题，而是表示 “ $p\leftrightarrow q$ 为永真式”。

以下为很多很重要的逻辑等价式，在化简证明中可以直接使用，其正确性都可以通过真值表来证明。并未完全列出。

逻辑运算符连接的逻辑等价式

德摩根律
$\lnot (p \land q) \equiv \lnot q \lor \lnot q$
$\lnot (p \lor q) \equiv \lnot q \land \lnot q$
德摩根律可以拓展到多个命题变元。

分配律
$p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$
$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$

吸收律
$p \lor (p \land q) \equiv p$
$p \land (p \lor q) \equiv p$

条件命题逻辑等价式

$p \to q \equiv \lnot p \lor q$
$p \to q \equiv \lnot q \to \lnot q$ （条件命题等价于其逆否命题）

双条件命题逻辑等价式

$p\leftrightarrow q \equiv (p \to q )\land (q \to p)$

量词逻辑

谓词

谓词：句子中代表主语属性的那一部分。

例如：可以用命题函数P(x)表示命题“x>3”，其中x是变量，P则表示谓词“大于3”。

一般地，涉及n个变量的命题可以表示为 $P(x_1,x_2,...,x_n)$ 。 $P$ 称为命题函数，或n元谓词。

量词一览

量化	全称量化	存在量化
量词	全称量词 $\forall$	存在量词 $\exists$
表示	$\forall x P(x)$	$\exists xP(x)$
读作	对所有x，P(x)	存在x，P(x)
否定	$\exists x \lnot P(x)$	$\forall x \lnot P(x)$

还有其他的量化，比如存在一个（恰有一个，唯一性量词 $\exists ! xP(x)$ ），存在几个等，这里主要考虑全称量化和存在量化。对应的命题称为全称命题和存在命题。

其中 $x$ 的考虑范围称为论域。

优先级

量词的优先级高于前面的所有逻辑运算符。

涉及量词的逻辑等价式

$\forall x(P(x) \land Q(x)) \equiv \forall xP(x) \land \forall x Q(x)$
$\exists x(P(x) \lor Q(x)) \equiv \exists xP(x) \lor \exists x Q(x)$
这很容易理解，反之，全称量词对析取不可分配，存在量词对合取也是不可分配的。

量词的德摩根律：
$\lnot \forall x P(x) \equiv \exists x \lnot P(x)$
$\lnot \exists xP(x) \equiv \forall x \lnot P(x)$
为什么这也叫德摩根律呢？当变量x的论域是离散数据的集合时，上述命题便可化为多个命题变元的德摩根律。

嵌套量词

量词的嵌套

量词可以嵌套。
例如语句：“两个正整数之和一定是正数”。
便可以表示为 $\forall x>0 \forall y>0(x+y>0)$ ，或者 $\forall x \forall y((x>0)\land(y>0)\to (x+y>0))$ ，其中论域为整数。
或者 $\forall x \forall y(x+y>0)$ ，其中论域为正整数。

可以看到，论域不同，表示也可以不同。

多重量化中，量词的顺序很重要，不同的顺序将表示不同的含义，除非全部是全称量词或者存在量词。

例子

让我们回顾极限

lim_{x \to a} f (x) = L

$\lim_{x\to a}f(x) = L$

的定义是：对任意实数 $\epsilon > 0$ ，存在一个实数 $\delta > 0$ ，使得对任意的 $x$ ，只要有 $0<|x-a|<\delta$ ，就有 $0<|f(x)-L|<\epsilon$ .
则使用嵌套量词可表示为：

\forall ϵ > 0 \exists δ > 0 \forall x (0 < | x - a | < δ \to 0 < | f (x) - L | < ϵ)

$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0 \forall x(0<|x-a|<\delta \to 0<|f(x)-L|<\epsilon)$
其中

ϵ

$\epsilon$ ，

δ

$\delta$ ，

x

$x$ 的论域为实数集合。

嵌套量词的否定

嵌套量词的否定可以通过连续应用量词的德摩根律得到。
比如对于“ $\lim_{x \to a}f(x)$ 不存在”这个命题：对于全体实数 $L$ ， $\lim_{x\to a}f(x) \neq L$
使用量词表示为即为：

\forall L \exists ϵ > 0 \forall δ > 0 \exists x (0 < | x - a | < δ \land | f (x) - L | \geq ϵ)

$\forall L \ \exists \epsilon >0 \ \forall \delta >0 \exists x(0<|x-a|<\delta \land |f(x)-L| \geq \epsilon)$

其中 $L$ ， $\epsilon$ ， $\delta$ ， $x$ 的论域为实数集合。

自然语言与量词逻辑的翻译

我们可以将涉及到量词的自然语言翻译为量词逻辑。
例题（Discrete Mathematics and Its Application,Chapter1,section 1.5,Practice No.9）：
令 $L(x,y)$ 表示 $x$ 爱 $y$ ，其中 $x$ 和 $y$ 论域为所有人的集合。
则下列语句的可如此翻译：

每个人都爱Jerry—— $\forall xL(x,Jerry)$
每个人都爱某个人—— $\forall x\exists yL(x,y)$
有个每个都不爱的人—— $\exists y \forall x\lnot L(x,y)$
恰有一个每个人都爱他的人—— $\exists ! x\forall y L(y,x)$ 或 $∃x(∀yL(y, x) ∧ ∀z((∀wL(w, z)) → z = x))$
有人除了自己以外谁都不爱—— $∃x∀y(L(x,y) ↔ x = y)$ 或 $\exists x (L(x,x) \land \forall y(y\neq x\to \lnot L(x,y)))$

推理规则

有效论证

所谓论证：一连串的命题，并以结论最后的命题。
所谓前提：结论之前的所有命题。
所谓结论：最后一个命题。
所谓有效性：结论必须由前提的真实性得出。
所谓谬误：错误的推理，将导致无效论证。
所谓有效论证：“前提蕴含结论”这个条件命题为永真式。

当命题 $p_1\land p_2\land\dots\land p_n\to q$ 为永真式时，论证有效，其中 $p_1\dots p_n$ 为前提， $q$ 为结论。
其中如果前提( $p_1\land p_2\land\dots\land p_n$ )为真时，结论( $q$ )为真，则该论证是有效的。
这时我们应该思考为什么，回顾条件命题 $p \to q$ 的真值表：

$p$	$q$	$p\to q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$

可以看到当前提为假时，条件命题是为真的，所以证明一个论证是有效的，只需要证明当前提为真时，结论一定为真即可。
利用上述真值表，当要证明条件命题为真时，我们也可以通过证明前提为假来实现（这也是一种证明思路，后面会叙述）。

命题逻辑的推理规则

我们可以通过先建立一些简单的有效论证形式来作为推理规则，并以此为基础来构造出更复杂的有效论证形式。
下面是一些最基础的推理规则（给出的是该有效论证形式基于的永真式）：

推理规则	永真式
假言推理	$((p\to q) \land p )\to q$
取拒式	$(\lnot q \land (p \to q))\to \lnot p$
假言三段论	$((p\to q)\land (q\to r))\to (p\to r)$
析取三段论	$((p\lor q)\land \lnot p ) \to q$
附加律	$p\to (p\lor q)$
化简律	$(p \land q)\to p$
合取律	$((p) \land (q))\to p$
消解律	$((p\lor q)\land (\lnot p\lor r))\to (q\lor r)$

都是非常容易理解和证明的，现证明一下假言推理。
$((p\to q) \land p )\to q$
$\equiv \lnot ((\lnot p \lor q)\land p)\lor q$
$\equiv \lnot (p \land q)\lor q$
$\equiv \lnot p \lor \lnot q \lor q$
$\equiv T$

谬误

$((p\to q) \land q )\to p$ 不是永真式，如果不小心使用了进行推理，则会产生肯定结论的谬误。

$(\lnot p \land (p \to q))\to \lnot q$ 也不是永真式，使用其进行推理会产生否定假设的谬误。

量化命题的推理规则

量化命题的推理规则有全称实例，全称引入，存在实例和存在引入。非常简单，不予赘述。

当量化命题与其前面的推理规组合使用时，有：
全称假言推理： $\forall x(P(x)\to Q(x))\land P(a)\to Q(a)$
全称取拒式： $\forall x(P(x)\to Q(x))\land \lnot Q(a)\to \lnot P(a)$

证明

一些专业术语

定理：一个能够被证明为真的语句。
证明：展示一个定理为真的论证。
引理：帮助证明其他结论的定理。
推论：从一个已被证明的定理可以直接建立起来的定理。
猜想：被提出认为是真的定理。

证明定理的方法

在现实学习中，我们已经直接或者间接的用到了这些方法和前面的推理规则，只是并没有把他们显式地提出来罢了。

这里为证明命题 $p\to q$ ，有下面的方法。

直接证明法

通过证明如果 $p$ 为真，那么 $q$ 也为真来证明定理的方法。
相对应地其他方法称为间接证明法。

反证法

利用 $p \to q \equiv \lnot q \to \lnot p$ ，通过证明 $\lnot q \to \lnot p$ 为真来证明 $p\to q$ 为真的方法。

即是，先假设前提 $q$ 不成立（ $\lnot q$ 为真），推出 $p$ 不成立（ $\lnot p$ 为真），与条件矛盾，进而推出 $q$ 为真。

空证明

根据 $p\to q$ 的真值表，我们知道 $p$ 为假时， $p \to q$ 为真。

所以通过证明前提为假来证明条件命题为真的方法称为空证明。
这时不需要考虑结论的真假。

平凡证明

根据 $p\to q$ 的真值表，我们还知道 $q$ 为真时， $p \to q$ 为真。
所以通过证明结论为真来证明条件命题为真的方法称为平凡证明。
这里不需要考虑前提的真假（因为任何情况下结论均为真）。

归谬证明法

找到一个矛盾式 $q$ 使得 $\lnot p \to q$ 为真，则 $\lnot p$ 为假，即 $p$ 为真。

等价证明法

利用等价式： $(p\leftrightarrow q) \equiv (p\to q)\land (q\to p)$
通过证明 $p \to q$ 为真且 $q\to p$ 为真来证明双条件命题 $p \leftrightarrow q$ 为真的犯法称为等价证明法。

也即是我们常用的，证明 $p$ 当且仅当 $q$ 或者 $p$ 等价于 $q$ 时分别证明充分性和必要性。

反例证明法

如果需要证明 $\forall x P(x)$ 为假，则只需找出一个反例即可。

同理，对于 $\exists xP(x)$ 只需要找到一个 $x$ 使得 $P(x)$ 成立即可。

构造证明的方法与策略

我认为构造证明的能力需要在不断的练习与思考之后，才能得到提高与升华。在数学中，这是非常重要的，但我并非数学专业，也没有时间来详细学习，所以就浮光掠影浏览一下就好。从略。

还有一些证明方法如：穷举证明法、分情形证明法等。

有一些比较特殊的证明可以用特殊的方法：
如存在性证明可以有构造证明法和非构造性证明法。
唯一性证明需要同时证明唯一性和存在性。

结语

命题/谓词逻辑是一套很漂亮的逻辑，可以说得上是数学逻辑的基础，亦是数学研究的一个分支。在人工智能、数据库理论等方面均有应用。

我们也可以总结出一些其在生活中的应用：

任何问题，抛开前提谈结论，就跟抛开剂量谈毒性一样都是耍流氓。
条件命题与逆否命题等价，仔细想想，这很多时候都很有用。但其实这已然是常识性的东西。
前提为假，结论真假对条件命题的真假没有影响。所以说在可以确定前提不成立的情况下，讨论结论是否成立并没有意义。

但数理逻辑与生活中的逻辑是有区别的，数理逻辑是形式化、标准化的，适用于专业的概念辨析、抽象化的分析中。

而我们在生活中思考问题会掺杂很多常识性的假设。生活中的“逻辑”一词与数理逻辑也并无多大关联性。

参考资料：《离散数学及其应用》（本科教学版，Kenneth H.Rosen著，原书第七版）

【离散数学】逻辑与证明