四元数旋转公式推导

任务

之前在了解关于slam的知识时，见到过四元数，但没有理解。近日在学习偏微分方程时，发现一个系列视频3Blue1Brown：深入浅出、直观明了地分享数学之美。
获益良多，又继续观看了感兴趣的视频，其中有四元数。随着资料的逐渐增多，我也对四元数慢慢形成认知，在此做整理。
主要资料出自https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf

核心

四元数(quaternion)的表示：
$q=a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k}$
与复数相类，可以表示为：
$q=[ a,\boldsymbol{u}] (\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}, a,x,y,z\in \mathbb{R})$
将 $\boldsymbol{u}$ 视为三维空间，而 $a$ 处于和 $\boldsymbol{u}$ 垂直的第四维度。则对于三维的我们，看到的四元数的可视化表达只能是切片的结果。

疑问

四元数的应用有刚体的旋转，而演示最直观的也是对其做体现，便从中入手。
在观看视频时，已经理解了四元数乘法的运算规则：
$\boldsymbol{ii=jj=kk=-1}\\ \boldsymbol{ij=-ji=k}\\ \boldsymbol{jk=-kj=i}\\ \boldsymbol{ki=-ik=j}\\$

自身相乘和虚数的运算一致，不同元素的相乘与向量的叉乘（product）一致，符合右手定则（同样不符合交换律）

举个简单的例子，对于某点 $p_{0}=1+\boldsymbol{j}$，也就是 $p_{0}=[ 1,\boldsymbol{u}] (\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix}$,
若 左乘 $q_{0}=\boldsymbol{i}$，同理，它的四元数表达可以为 $q_{0}=[ 0,\boldsymbol{u}] (\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix})$,
结果 $p_{0}'=q_{0}p_{0}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{k}$

从这个例子我们很难看出旋转的规律，这也正是我们面对的问题，如何表示某个确定的旋转？

在网页链接的交互平台https://eater.net亲自感受时，观察到坐标实际旋转恰为给定旋转角的二倍，十分想理解其中缘由。

从三维旋转说起

将三维空间中的旋转表示的方法采用轴角式（Axis-Angle），即某个向量 $\boldsymbol{v}$ 围绕轴 $\boldsymbol{u}$ 旋转角度大小为 $\theta$后到达 $\boldsymbol{v'}$，如图所示（原图来源：https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf）

将向量 $\boldsymbol{v}$ 分解为垂直于 $\boldsymbol{u}$ 的 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 和平行于 $\boldsymbol{u}$ 的 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$
由图易知： $\boldsymbol{v_{\parallel}'}=\boldsymbol{v_{\parallel}}$
故只需计算 $\boldsymbol{v_{\perp}'}$即可得 $\boldsymbol{v'}=\boldsymbol{v_{\perp}'}+\boldsymbol{v_{\parallel}}\qquad(1)$
将上图垂直轴 $\boldsymbol{u}$ 的平面投影如下图：

可知表达式：
$\boldsymbol{v_{\perp}'}=\boldsymbol{v_{\perp}}cos\theta+\boldsymbol{w}sin\theta \qquad(2)$

这里 $||\boldsymbol{w}||= ||\boldsymbol{v_{\perp}}||$ 且 与 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 及 $\boldsymbol{u}$ 垂直，则可通过 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 及 $\boldsymbol{u}$ 叉乘获得：
$\boldsymbol{w}= \boldsymbol{v_{\perp}} \times \frac{ \boldsymbol{u}}{ ||\boldsymbol{u}||}$
由旋转轴大小不重要，则令其模长为1： $||\boldsymbol{u}||=1$ 则有：
$\boldsymbol{w}= \boldsymbol{v_{\perp}} \times \boldsymbol{u}\qquad(3)$
此时，也可得出 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 和 $\boldsymbol{v_{\parallel}}$ 的表达式：

$\boldsymbol{v_{\parallel}} = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}\qquad(4)$

$\boldsymbol{v_{\perp}} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}\qquad(5)$
联立式 $(1)(2)(3)(4)(5)$可得：

$\boldsymbol{v'} = \boldsymbol{v}cos\theta +(1-cos\theta)( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u})\cdot \boldsymbol{u} +\boldsymbol{v} \times\boldsymbol{u}sin\theta\qquad(5)$
这个式子直观的将变量和旋转结果展示出来，符合我们的思维，这个式子是我们稍后四元数旋转的基础。

四元数旋转!

一个奇妙的运算

两个一般的四元数 $q_{1}=a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k}$ 与 $q_{2}=e+f\boldsymbol{i}+g\boldsymbol{j}+h\boldsymbol{k}$相乘，运用之前提到的乘法运算规则，整理结果如下：

换一种表示方法，更清楚规律为何：
$q_{1}=[ a,\boldsymbol{v}] (\boldsymbol{v}= \begin{bmatrix} b\\ c\\ d\\ \end{bmatrix})$
$q_{2}=[ e,\boldsymbol{u}] (\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} f\\ g\\ h\\ \end{bmatrix})$

本质源于四元数乘法运算的性质，我们得到如下表达式：

$q_{1}q_{2}=[ ae-\boldsymbol{v}\boldsymbol{u},e\boldsymbol{v}+a\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{u}] (\boldsymbol{v}= \begin{bmatrix} b\\ c\\ d\\ \end{bmatrix}, \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} f\\ g\\ h\\ \end{bmatrix})\qquad(6)$

三维 $\rightarrow$四维

从三维推广到四维，首先简化问题，把需要旋转的四元数 $v$ 取 $v=[0,\boldsymbol{v}]$ ，则对应有：
$v_{\perp}=[0,\boldsymbol{v_{\perp}}]\qquad v_{\parallel}=[0,\boldsymbol{v_{\parallel}}]\qquad u=[0,\boldsymbol{u}]$
$v_{\perp}'=[0,\boldsymbol{v_{\perp}'}]\qquad v_{\parallel}'=[0,\boldsymbol{v_{\parallel}'}]\qquad v'=[0,\boldsymbol{v'}]$

将其代入式 $(2)$可得：

${v_{\perp}'}={v_{\perp}}cos\theta+{w}sin\theta \qquad(7)$
$w=[0,\boldsymbol{w}] (\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v_{\perp}})$
而根据式 $(6)$计算四元数 $u$与 $v_{\perp}$相乘恰有：

$uv_{\perp}=[-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v_{\perp}},\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v_{\perp}}]$
由 $\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{u}$ 在同一平面，故 $\boldsymbol{v_{\perp}}$ 垂直于此平面，即 $\boldsymbol{v_{\perp}}\cdot\boldsymbol{u}=0$
原式化为：
$uv_{\perp}=[0,\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v_{\perp}}]=[0,\boldsymbol{w} ]$
即：
$uv_{\perp}=w \qquad(8)$
联立式 $(7)(8)$得：

${v_{\perp}'}={v_{\perp}}cos\theta+{uv_{\perp}}sin\theta$

由分配律，化为：
${v_{\perp}'}=(cos\theta+{u}sin\theta) v_{\perp}\qquad(9)$

取 $q=cos\theta+{u}sin\theta=[cos\theta,\boldsymbol{u}sin\theta]$

式 $(9)$表示为：
${v_{\perp}'}=q v_{\perp}\qquad(9)$

由式 $(1)$推知：
${v'}={v_{\perp}'}+{v_{\parallel}}\qquad(10)$
联立 $(9)(10)$得：
${v'}=q v_{\perp}+{v_{\parallel}}\qquad(10)$

二倍角度来源

根据四元数乘法性质，推得：
若 $q=[cos\theta,\boldsymbol{u}sin\theta]$,则有
$q^2=qq=[cos2\theta,\boldsymbol{u}sin2\theta]$

取 $q=p^2$
将式 $(10)$化为：

${v'}=pp v_{\perp}+pp^-{1}{v_{\parallel}}\qquad(11)$

与线性代数中的性质相似，这里 $||p||=1$，有：
$p^{-1}=p*\qquad(12)$

式 $(11)$化为：

${v'}=pp v_{\perp}+pp^{*}{v_{\parallel}}\qquad(13)$

通过式 $(6)$，我们可得两个结论：
$q_{1}q_{2}=[ ae-\boldsymbol{v}\boldsymbol{u},e\boldsymbol{v}+a\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{u}] \qquad(6)$

1. 对于 $v_{\parallel}=[0,\boldsymbol{v_{\parallel}}]$, $q=[\alpha,\beta \boldsymbol{u}]$，其中 $v_{\parallel}\parallel q$，则有：
   $qv_{\parallel}=v_{\parallel}q\qquad(14)$
2. 对于 $v_{\perp}=[0,\boldsymbol{v_{\parallel}}]$, $q=[\alpha,\beta \boldsymbol{u}]$，其中 $v_{\perp}\perp q$，则有：
   $qv_{\perp}=v_{\perp}q* \qquad(15)$

联立式 $(13)(14)(15)$得：
${v'}=p v_{\perp}p*+p{v_{\parallel}}p^{*}$
由式 $(12)$：
${v'}=p v_{\perp}p^{-1}+p{v_{\parallel}}p^{-1}$

整理得：
${v'}=p( v_{\perp}+{v_{\parallel}})p^{-1}$
最终即为：
${v'}=pvp^{-1}$

正是交互网页所显示的表达式！