机器学习中，如果参数过多，模型过于复杂，容易造成过拟合（overfit）。即模型在训练样本数据上表现的很好，但在实际测试样本上表现的较差，不具备良好的泛化能力。为了避免过拟合，最常用的一种方法是使用使用正则化，例如 L1 和 L2 正则化。但是，正则化项是如何得来的？其背后的数学原理是什么？L1 正则化和 L2 正则化之间有何区别？
L2正则化
L2 正则化公式非常简单，直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的平方和：
其中，Ein 是未包含正则化项的训练样本误差，λ 是正则化参数，可调。但是正则化项是如何推导的？接下来，我将详细介绍其中的物理意义。
我们知道，正则化的目的是限制参数过多或者过大，避免模型更加复杂。例如，使用多项式模型，如果使用 10 阶多项式，模型可能过于复杂，容易发生过拟合。所以，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重 w 限制为 0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶。
为了达到这一目的，最直观的方法就是限制 w 的个数，但是这类条件属于 NP-hard 问题，求解非常困难。所以，一般的做法是寻找更宽松的限定条件：
上式是对 w 的平方和做数值上界限定，即所有w 的平方和不超过参数 C。这时候，我们的目标就转换为：最小化训练样本误差 Ein，但是要遵循 w 平方和小于 C 的条件。
如上图所示，蓝色椭圆区域是最小化 Ein 区域，红色圆圈是 w 的限定条件区域。在没有限定条件的情况下，一般使用梯度下降算法，在蓝色椭圆区域内会一直沿着 w 梯度的反方向前进，直到找到全局最优值 wlin。例如空间中有一点 w（图中紫色点），此时 w 会沿着 -∇Ein 的方向移动，如图中蓝色箭头所示。但是，由于存在限定条件，w 不能离开红色圆形区域，最多只能位于圆上边缘位置，沿着切线方向。w 的方向如图中红色箭头所示。
那么问题来了，存在限定条件，w 最终会在什么位置取得最优解呢？也就是说在满足限定条件的基础上，尽量让 Ein 最小。
我们来看，w 是沿着圆的切线方向运动，如上图绿色箭头所示。运动方向与 w 的方向（红色箭头方向）垂直。运动过程中，根据向量知识，只要 -∇Ein 与运行方向有夹角，不垂直，则表明 -∇Ein 仍会在 w 切线方向上产生分量，那么 w 就会继续运动，寻找下一步最优解。只有当 -∇Ein 与 w 的切线方向垂直时，-∇Ein在 w 的切线方向才没有分量，这时候 w 才会停止更新，到达最接近 wlin 的位置，且同时满足限定条件。
-∇Ein 与 w 的切线方向垂直，即 -∇Ein 与 w 的方向平行。如上图所示，蓝色箭头和红色箭头互相平行。这样，根据平行关系得到：
移项，λ是常数项：
这样，我们就把优化目标和限定条件整合在一个式子中了。也就是说只要在优化 Ein 的过程中满足上式，就能实现正则化目标。
接下来，重点来了！根据最优化算法的思想：梯度为 0 的时候，函数取得最优值。已知 ∇Ein 是 Ein 的梯度，观察上式，λw 是否也能看成是某个表达式的梯度呢？
当然可以！λw 可以看成是 1/2λw*w 的梯度：
这样，我们根据平行关系求得的公式，构造一个新的损失函数：
之所以这样定义，是因为对 Eaug 求导，正好得到上面所求的平行关系式。上式中等式右边第二项就是 L2 正则化项。
这样， 我们从图像化的角度，分析了 L2 正则化的物理意义，解释了带 L2 正则化项的损失函数是如何推导而来的。
L1正则项
L1 正则化公式也很简单，直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的绝对值：
Ein 优化算法不变，L1 正则化限定了 w 的有效区域是一个正方形，且满足 |w| < C。空间中的点 w 沿着 -∇Ein 的方向移动。但是，w 不能离开红色正方形区域，最多只能位于正方形边缘位置。其推导过程与 L2 类似，
