数据结构_xt_第一章绪论_级数复杂度、递归减而治之

第一章绪论（下）

级数

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常见复杂度

算数级数:与末项平方同阶

$T(n)=1+2+3+...+n=O(n^{2})$

幂方级数：比幂高1

$T(n)=1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}=O(n^{k+1});$

$证明：\sum_{k=0}^{n}x^{d}\approx\int_{0}^{n}x^{d+1}dx$

几何级数（a>1)：与末项同阶

$T(n)=a^{0}+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}=O(a^{n})$

证明：等比数列求和

例：

for(int i=1;j<n;i<<=1){
	for(int j=0;j<i;j++){
	...
	}
}

分析
$1+2+3+...+2^{log(n-1)}=O(n)$

调和级数

不收敛
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}=\Theta (logn)$

对数级数

不收敛
$\sum_{k=1}^{n}logn=\Theta(nlogn)$

收敛级数

$O(1)$

迭代与递归

减而治之

原问题=平凡子问题+规模缩小后的子问题

应用：线性递归sum(1~n)

时间复杂度O(n)
$T(n)=T(n-1)+O(1); \\T(0)=O(1); \\T(n)-n=T(n-1)-(n-1); \\=.. \\=T(1)-1 \\=T(0)=1$

int sum(int *p,int len){	
	if(len==0) {
		// return*p;
		return 0;
		}
	else{
		return p[len-1]+sum(p,len-1);//p[0]+sum(p,0)
		}
}