一、什么是前缀/中缀/后缀表达式
1.中缀表达式
中缀表达式是一个通用的算术或逻辑公式表示方法。操作符是以中缀形式处于操作数的中间 ，中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
[例：1-(2+3) ]
计算方法：与我们平常计算相同。
2.前缀表达式
前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz，前缀表达式也称为“波兰式”，
[例：- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。]
计算方法：对前缀表达式求值，要从右至左扫描表达式，首先从右边第一个字符开始判断，若当前字符是数字则一直到数字串的末尾再记录下来，若为运算符，则将右边离得最近的两个“数字串”作相应运算，然后以此作为一个新的“数字串”并记录下来；扫描到表达式最左端时扫描结束，最后运算的值即为表达式的值。
3.后缀表达式
逆波兰表达式又叫做后缀表达式。逆波兰表示法是波兰逻辑学家J・卢卡西维兹(J・ Lukasewicz)于1929年首先提出的一种表达式的表示方法。后来,人们就把用这种表示法写出的表达式称作“逆波兰表达式”。逆波兰表达式把运算量写在前面,把算符写在后面。
[例：1, 2, 3, +, -，它等价于1-(2+3)。]
计算方式：新建一个表达式,如果当前字符为变量或者为数字，则压栈，如果是运算符，则将栈顶两个元素弹出作相应运算，结果再入栈，最后当表达式扫描完后，栈里的就是结果。
二、为什么要学逆波兰表达式
它的优势在于只用两种简单操作，入栈和出栈就可以搞定任何普通表达式的运算。其运算方式如下：
如果当前字符为变量或者为数字，则压栈，如果是运算符，则将栈顶两个元素弹出作相应运算，结果再入栈，最后当表达式扫描完后，栈里的就是结果。
说人话：便于计算机运算
三、如何使用逆波兰表达式实现计算器
这才是今天的重头戏，重点在于逆波兰表达式的解决思路和对栈的使用和理解。
1. 思路分析
- 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压s2；
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
1.如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
2.否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1；
3.否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较；- 遇到括号时： (1) 如果是左括号“(”，则直接压入s1 (2) 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
- 重复步骤2至5，直到表达式的最右边
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式
举例：将1 + ( ( 2 + 3 )× 4) - 5转为逆波兰表达式
最终结果为1 2 3 + 4 * + 5 -
s1为：数栈
s2为：符号栈
2. 格式化中缀表达式,这里中缀表达式字符中间用空格隔开
/**
* 中缀表达式转list
* 方法：将 中缀表达式转成对应的List
* s="1+((2+3)×4)-5";
* @param s
* @return
*/
public static List<String> toInfixExpressionList(String s) {
//定义一个List,存放中缀表达式 对应的内容
List<String> ls = new ArrayList<String>();
//这是一个指针，用于遍历 中缀表达式字符串
int i = 0;
// 对多位数的拼接
String str;
// 每遍历到一个字符，就放入到c
char c;
do {
//如果c是一个非数字，我需要加入到ls
if((c=s.charAt(i)) < 48 || (c=s.charAt(i)) > 57) {
ls.add("" + c);
//指针需要后移
i++;
} else { //如果是一个数，需要考虑多位数
//先将str 置成"" '0'[48]->'9'[57]
str = "";
while(i < s.length() && (c=s.charAt(i)) >= 48 && (c=s.charAt(i)) <= 57) {
//拼接
str += c;
i++;
}
ls.add(str);
}
}while(i < s.length());
//将处理好的表达式list返回
return ls;
}
3. 中缀表达式转换为后缀表达式
/**
* 中缀表达式转后缀表达式
* 即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5] =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]
* 方法：将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
* @param ls
* @return
*/
public static List<String> parseSuffixExpressionList(List<String> ls) {
//定义两个栈
// s1:符号栈
Stack<String> s1 = new Stack<String>();
//说明：因为s2 这个栈，在整个转换过程中，没有pop操作，而且后面我们还需要逆序输出
// s2栈用于存放数字与符号 无需使用pop方法，最终取出还需要进行逆序操作，所以直接使用List进行代替
//Stack<String> s2 = new Stack<String>();
// 储存中间结果的Lists2
List<String> s2 = new ArrayList<String>();
//遍历ls
for(String item: ls) {
//如果是一个数，加入s2
if(item.matches("\\d+")) {
s2.add(item);
} else if (item.equals("(")) {
s1.push(item);
} else if (item.equals(")")) {
//如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
while(!s1.peek().equals("(")) {
s2.add(s1.pop());
}
//!!! 将 ( 弹出 s1栈， 消除小括号
s1.pop();
} else {
//当item的优先级小于等于s1栈顶运算符, 将s1栈顶的运算符弹出并加入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较
//问题：我们缺少一个比较优先级高低的方法
while(s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(item) ) {
s2.add(s1.pop());
}
//还需要将item压入栈
s1.push(item);
}
}
//将s1中剩余的运算符依次弹出并加入s2
while(s1.size() != 0) {
s2.add(s1.pop());
}
//注意因为是存放到List, 因此按顺序输出就是对应的后缀表达式对应的List
return s2;
}
4. 将最终的后缀表达式进行计算
/**
* 完成对逆波兰表达式的运算
* 1)从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
* 2)遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
* 3)将5入栈；
* 4)接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
* 5)将6入栈；
* 6)最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
* @param ls
* @return 计算结果
*/
public static int calculate(List<String> ls) {
// 创建给栈, 只需要一个栈即可
Stack<String> stack = new Stack<String>();
// 遍历 ls
for (String item : ls) {
// 这里使用正则表达式来取出数 , 匹配的是多位数
if (item.matches("\\d+")) {
// 入栈
stack.push(item);
} else {
// pop出两个数，并运算， 再入栈
int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
int res = 0;
if (item.equals("+")) {
res = num1 + num2;
} else if (item.equals("-")) {
res = num1 - num2;
} else if (item.equals("*")) {
res = num1 * num2;
} else if (item.equals("/")) {
res = num1 / num2;
} else {
throw new RuntimeException("运算符有误");
}
//把res 入栈
stack.push("" + res);
}
}
//最后留在stack中的数据是运算结果
return Integer.parseInt(stack.pop());
}
4. 完整代码
package com.xxx.xxx;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Stack;
/**
* 逆波兰表达式简易版
* @author Administrator
*/
public class ReversePolishNotationEasyDemo {
public static void main(String[] args) {
//完成将一个中缀表达式转成后缀表达式的功能
//说明
//1. 1+((2+3)×4)-5 => 转成 1 2 3 + 4 × + 5 –
//2. 因为直接对str 进行操作，不方便，因此 先将 "1+((2+3)×4)-5" =》 中缀的表达式对应的List
// 即 "1+((2+3)×4)-5" => ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]
//3. 将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
// 即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5] =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]
//表达式
String expression = "1-(2+3)";
List<String> infixExpressionList = toInfixExpressionList(expression);
// ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]
System.out.println("中缀表达式对应的List：" + infixExpressionList);
List<String> suffixExpressionList = parseSuffixExpressionList(infixExpressionList);
//ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]
System.out.println("后缀表达式对应的List：" + suffixExpressionList);
//计算结果
System.out.printf("expression=%d", calculate(suffixExpressionList));
}
/**
* 中缀表达式转后缀表达式
* 即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5] =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]
* 方法：将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
* @param ls
* @return
*/
public static List<String> parseSuffixExpressionList(List<String> ls) {
//定义两个栈
// s1:符号栈
Stack<String> s1 = new Stack<String>();
//说明：因为s2 这个栈，在整个转换过程中，没有pop操作，而且后面我们还需要逆序输出
// s2栈用于存放数字与符号 无需使用pop方法，最终取出还需要进行逆序操作，所以直接使用List进行代替
//Stack<String> s2 = new Stack<String>();
// 储存中间结果的Lists2
List<String> s2 = new ArrayList<String>();
//遍历ls
for(String item: ls) {
//如果是一个数，加入s2
if(item.matches("\\d+")) {
s2.add(item);
} else if (item.equals("(")) {
s1.push(item);
} else if (item.equals(")")) {
//如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
while(!s1.peek().equals("(")) {
s2.add(s1.pop());
}
//!!! 将 ( 弹出 s1栈， 消除小括号
s1.pop();
} else {
//当item的优先级小于等于s1栈顶运算符, 将s1栈顶的运算符弹出并加入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较
//问题：我们缺少一个比较优先级高低的方法
while(s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(item) ) {
s2.add(s1.pop());
}
//还需要将item压入栈
s1.push(item);
}
}
//将s1中剩余的运算符依次弹出并加入s2
while(s1.size() != 0) {
s2.add(s1.pop());
}
//注意因为是存放到List, 因此按顺序输出就是对应的后缀表达式对应的List
return s2;
}
/**
* 中缀表达式转list
* 方法：将 中缀表达式转成对应的List
* s="1+((2+3)×4)-5";
* @param s
* @return
*/
public static List<String> toInfixExpressionList(String s) {
//定义一个List,存放中缀表达式 对应的内容
List<String> ls = new ArrayList<String>();
//这是一个指针，用于遍历 中缀表达式字符串
int i = 0;
// 对多位数的拼接
String str;
// 每遍历到一个字符，就放入到c
char c;
do {
//如果c是一个非数字，我需要加入到ls
if((c=s.charAt(i)) < 48 || (c=s.charAt(i)) > 57) {
ls.add("" + c);
//指针需要后移
i++;
} else { //如果是一个数，需要考虑多位数
//先将str 置成"" '0'[48]->'9'[57]
str = "";
while(i < s.length() && (c=s.charAt(i)) >= 48 && (c=s.charAt(i)) <= 57) {
//拼接
str += c;
i++;
}
ls.add(str);
}
}while(i < s.length());
//将处理好的表达式list返回
return ls;
}
/**
* 将一个逆波兰表达式， 依次将数据和运算符 放入到 ArrayList中
* @param suffixExpression
* @return
*/
public static List<String> getListString(String suffixExpression) {
//将 suffixExpression 分割
String[] split = suffixExpression.split(" ");
List<String> list = new ArrayList<String>();
for(String ele: split) {
list.add(ele);
}
return list;
}
/**
* 完成对逆波兰表达式的运算
* 1)从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
* 2)遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
* 3)将5入栈；
* 4)接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
* 5)将6入栈；
* 6)最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
* @param ls
* @return 计算结果
*/
public static int calculate(List<String> ls) {
// 创建给栈, 只需要一个栈即可
Stack<String> stack = new Stack<String>();
// 遍历 ls
for (String item : ls) {
// 这里使用正则表达式来取出数 , 匹配的是多位数
if (item.matches("\\d+")) {
// 入栈
stack.push(item);
} else {
// pop出两个数，并运算， 再入栈
int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
int res = 0;
if (item.equals("+")) {
res = num1 + num2;
} else if (item.equals("-")) {
res = num1 - num2;
} else if (item.equals("*")) {
res = num1 * num2;
} else if (item.equals("/")) {
res = num1 / num2;
} else {
throw new RuntimeException("运算符有误");
}
//把res 入栈
stack.push("" + res);
}
}
//最后留在stack中的数据是运算结果
return Integer.parseInt(stack.pop());
}
}
/**
* 编写一个类 Operation 可以返回一个运算符 对应的优先级
*/
class Operation {
//+
private static int ADD = 1;
//-
private static int SUB = 1;
//*
private static int MUL = 2;
//除 /
private static int DIV = 2;
/**
* 写一个方法，返回对应的优先级数字
* @param operation
* @return
*/
public static int getValue(String operation) {
int result = 0;
switch (operation) {
case "+":
result = ADD;
break;
case "-":
result = SUB;
break;
case "*":
result = MUL;
break;
case "/":
result = DIV;
break;
default:
System.out.println("不存在该运算符" + operation);
break;
}
return result;
}
}
附 逆波兰计算器完整版代码
