正题
树链剖分+树状数组套主席树 似乎可以 解决大多数 树上求状态的 问题哦
我们一起来学树链剖分吧！
树链剖分的宗旨是：让一条链上的编号连续，使得路径分割成多个部分。
如下图：
求求你看看我的图。。
橙色表示的是一条链，蓝色表示的是另外一条链，而粉色的点不在任何一条链上，怎么办，把它自己看成一条链。
因为我们要让一条链上的编号连续，所以，接下来我们来对它重新编号。
所以我们让一条链上的编号连续有什么用呢？
这可以使得我们用树状数组或线段树来维护。
因为它编号连续，所以它在线段树中的编号就连续。
那么假如我们要求x到y的的和（带修），就一定可以拆成很多条子链（emm）。比如上图，我们要求4到9（新编号）的和，就可以拆成（1，4），（6，7），（9，9），三个区间，我们去线段树或树状数组中求一下和即可。
那么找链的依据又是什么呢？怎样找链可以使得时间大大提高呢？
重链
我们可以这样想，链是有一堆连续的点组成的，而且除了第一个点之外，其他点都有父亲。
所以我们提出一个概念：重儿子。
重儿子指的是儿子为根子树最大（节点最多）的儿子。
重儿子的衔接形成重链
接着，我们很容易就可以通过不断的跳到当前链顶端来实现区间的变化。
代码详解
我们先进行第一次的dfs来找出重儿子。
void dfs_1(int x){
tot[x]=1;//tot为x为x所在子树的大小
for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){//找出相邻的点
int y=s[i].y;
if(y!=fa[x]){//相邻且不为父亲
dep[y]=dep[x]+1;//更新深度
fa[y]=x;//更新y的父亲
dfs_1(y);//更新y子树
if(tot[y]>tot[son[x]]) son[x]=y;//如果y所在子树比原先的重儿子还要大，那么就让y当我的重儿子
tot[x]+=tot[y];//累加tot
}
}
}
很明显我们知道，tot和son的继承是要处理完子树节点才能知道的，所以要搞清楚。
第二次dfs来找出重链并对其上面的节点进行编号，同时要处理出一个top，表示x所在重链的顶端。
void dfs_2(int x,int tp){//tp为将要赋值的顶端
len++;
top[x]=tp;image[x]=len;fact[len]=x;//更新image（新编号），fact（旧编号）
if(son[x]!=0) dfs_2(son[x],tp);//有重儿子继续往重儿子跑
for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){//更新其他不为重儿子的儿子
int y=s[i].y;
if(y!=fa[x] && y!=son[x]) dfs_2(y,y);//自己必定为新重链的顶端
}
}
如果你听到这里，那么你很强大；如果你还可以继续停下来，那你就是最棒的！！
接着我们用线段树来处理区间和（新编号），这个没必要解释，虽然我写的是函数式线段树。
关键是怎么用树剖来往上跳。
int get_sum(){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
int tx=top[x],ty=top[y];//tx为x所在重链所在的顶端，ty为y所在重链的顶端
int ans=0;
while(tx!=ty){//不在一条重链上，说明还没有到lca
if(dep[ty]<dep[tx]){//优先top在下面的翻上来，在这里统一改成y
swap(tx,ty);
swap(x,y);
}
ans+=query_sum(root,image[ty],image[y],1,n);//top到当前点的编号肯定连续，丢进线段树求和
y=fa[ty];ty=top[y];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);//在让深度小的在上面
ans+=query_sum(root,image[x],image[y],1,n);//统计答案
return ans;返回
}
大家可以用[ZJOI2008]树的统计来作为例题。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int ls[100010],rs[1000010];
int sum[100010],mmax[100010];
int n,m;
struct edge{
int y,next;
}s[100010];
int first[30010];
int len=0;
int dep[30010],tot[30010],fa[30010],son[30010],top[30010];
int image[30010],fact[30010];
int num[30010];
int root;
int d,v;
bool tf=false;
void ins(int x,int y){
len++;
s[len].y=y;s[len].next=first[x];first[x]=len;
}
void dfs_1(int x){
tot[x]=1;
for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
int y=s[i].y;
if(y!=fa[x]){
dep[y]=dep[x]+1;
fa[y]=x;
dfs_1(y);
if(tot[y]>tot[son[x]]) son[x]=y;
tot[x]+=tot[y];
}
}
}
void dfs_2(int x,int tp){
len++;
top[x]=tp;image[x]=len;fact[len]=x;
if(son[x]!=0) dfs_2(son[x],tp);
for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
int y=s[i].y;
if(y!=fa[x] && y!=son[x])
dfs_2(y,y);
}
}
void update(int &now,int l,int r){
if(now==0) now=++len;
sum[now]+=d;
mmax[now]=-1e9;
if(l==r){
if(tf) mmax[now]=d;
return ;
}
if(v<=(l+r)/2) update(ls[now],l,(l+r)/2);
else update(rs[now],(l+r)/2+1,r);
mmax[now]=max(mmax[ls[now]],mmax[rs[now]]);
}
void change(){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
d=-num[x];v=image[x];tf=false;
update(root,1,n);
d=num[x]=y;tf=true;
update(root,1,n);
}
int query_max(int now,int l,int r,int x,int y){
if(x==l && r==y) return mmax[now];
int mid=(x+y)/2;
if(r<=mid) return query_max(ls[now],l,r,x,mid);
else if(mid<l) return query_max(rs[now],l,r,mid+1,y);
else return max(query_max(ls[now],l,mid,x,mid),query_max(rs[now],mid+1,r,mid+1,y));
}
int get_max(){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
int tx=top[x],ty=top[y];
int ans=-1e9;
while(tx!=ty){
if(dep[ty]<dep[tx]){
swap(tx,ty);
swap(x,y);
}
ans=max(ans,query_max(root,image[ty],image[y],1,n));
y=fa[ty];ty=top[y];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
ans=max(ans,query_max(root,image[x],image[y],1,n));
return ans;
}
int query_sum(int now,int l,int r,int x,int y){
if(x==l && r==y) return sum[now];
int mid=(x+y)/2;
if(r<=mid) return query_sum(ls[now],l,r,x,mid);
else if(mid<l) return query_sum(rs[now],l,r,mid+1,y);
else return query_sum(ls[now],l,mid,x,mid)+query_sum(rs[now],mid+1,r,mid+1,y);
}
int get_sum(){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
int tx=top[x],ty=top[y];
int ans=0;
while(tx!=ty){
if(dep[ty]<dep[tx]){
swap(tx,ty);
swap(x,y);
}
ans+=query_sum(root,image[ty],image[y],1,n);
y=fa[ty];ty=top[y];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
ans+=query_sum(root,image[x],image[y],1,n);
return ans;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n*2;i++) mmax[i]=-1e9;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
ins(x,y);ins(y,x);
}
dep[1]=1;fa[1]=0;dfs_1(1);
len=0;dfs_2(1,1);
len=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
num[i]=x;
v=image[i];d=x;
tf=true;
update(root,1,n);
}
scanf("%d",&m);
char ch[10];
while(m--){
scanf("%s",ch);
if(ch[1]=='H') change();
else if(ch[1]=='M') printf("%d\n",get_max());
else if(ch[1]=='S') printf("%d\n",get_sum());
}
}谢谢