Lucas定理（大组合数取模）
一、定义：
当n、m为大数，p为素数时，
Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的
值。
适用领域范围
：
在数论中求大组合数取模。
表达式：
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
二、定理内容：
Lucas定理：我们令
n=sp+q , m=tp+r .
（q ，r ≤p）
那么：
（在编程时你只要继续对
调用Lucas定理即可。
代码可以递归的去完成这个过程，其中递归终点为
t = 0 ；
时间
O（logp(n)*p)）。
三、证明及推导： （该过程边看边写效果更佳！）
要证：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
即证：C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)
证明：
已知p是素数，n、m、p为整数。
1.由二项式定理得：
，且 
2.由费马小定理得：
（1）式 ：（1+x）^p ≡ （1+x）（mod p）.
（2）式 ：（1+x^p）≡ （1+x）（mod p）. （因为x^p与x取模p同余，同时加1也同余
）
则由上式可知：
（1+x）^p ≡ （1+x^p）（mod p） （记为（3）式）
3.n = n/p*p + n%p . 则：
（1+x）^p（mod p） = （1+x）^（n/p*p）*（1+x）^（n%p）（mod p）
由式3得： （1+x）^p（mod p）= （1+x^p）^（n/p）*（1+x）^（n%p）（mod p）
将上式由二项式公式可转化为：（这一排你用手写看一下吧，这编辑器里太难敲了……）
∑(n，z=0)C(n，z)* x^z （mod p）=∑(n/p，i=0)C(n/p，i)* x^（p*i）*∑(n%p，j=0)C(n%p，j)* x^j(
mod p)
任意一个Z，必存在一个i，j满足：x^z = x^(p*i)*x^j（即满足：n = n/p*p + n%p），当且仅当：
i=z/p，j=z%p
时成立
此时：
C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p) 成立
得证！
代码求解过程中，不断将C(n/p,m/p)拆分化简，实质是一直在计算C(n%p,m%p)，即：
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
等价于C(n,m)%p=C(n/p/p,m/p/p)*C(n/p%p,m/p%p)%p
等价于C(n,m)%p=C(n/p/p/p,m/p/p/p)*C(n/p/p%p,m/p/p%p)%p
等价于…
直到拆分至m=0，递归完成。
四、逻辑代码：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fastmod(ll a,ll b,ll p) //费马小定理
{
ll cnt=1;
while(b)
{
if(b&1)
cnt=(cnt*a)%p;
a=(a*a)%p;
b>>=1;
}
return cnt;
}
ll Comb(ll a,ll b,ll p) //组合数
{
ll ca=1,cb=1,tmp=1;;
if(a<b) return 0;
if(a==b) return 1;
if(b>a-b) b=a-b;
for(ll i=0;i<b;i++)
{
ca=(ca*(a-i))%p;
cb=(cb*(b-i))%p;
}
tmp=(ca*fastmod(cb,p-2,p))%p; //除法转换求逆元
return tmp;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
ll ans=1;
while(n&&m&&ans)
{
ans=(ans*Comb(n%p,m%p,p))%p; //拆分+递归
n/=p;
m/=p;
}
return ans;
}
int main()
{
ll n,m,p;
while(cin>>n>>m>>p)
{
ll ans=Lucas(n,m,p);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
~step by step
