为什么Java中int型数据取值范围是[-2^{31}, 2^{31}-1]

一、数字在计算机中的存储形式

数字	计算机中的存储位
$-2^{31}$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
$-2^{31} + 1$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
$-2^{31} + 2$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010
$-2^{31} + 3$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
$-2^{31} + 4$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100
$-2^{31} + 5$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
$-2^{31} + 6$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110
$-2^{31} + 7$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111
$-2^{31} + 8$	1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
…	…
$-8$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000
$-7$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001
$-6$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010
$-5$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011
$-4$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100
$-3$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101
$-2$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
$-1$	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
$0$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
$1$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
$2$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010
$3$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
$4$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100
$5$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
$6$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110
$7$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111
$8$	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
…	…
$2^{31} - 8$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000
$2^{31} - 7$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001
$2^{31} - 6$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010
$2^{31} - 5$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011
$2^{31} - 4$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100
$2^{31} - 3$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101
$2^{31} - 2$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
$2^{31} - 1$	0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

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二、计算机存储数字的原理

2.1.原码

int型数据在计算机中以二进制存储，一个int型数据占4个字节，一个字节占8位，一共32位。
（1）第一位是标志位，标志位为0表示正数，标志位为1表示负数。
（2）剩余的31位是用来表示数字部分的

2.2.补码

在计算机中，数字以补码存储。正数的补码是其本身，负数的补码是除标志位外，其他位按位取反再加一。

2.3.补码的特性

1、一个负整数（或原码）与其补数（或补码）相加，和为模。
2、对一个整数的补码再求补码，等于该整数自身。
3、补码的正零与负零表示方法相同。

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三、两个例子理解补码的计算方式

3.1、第一个例子：7的存储形式

3.1.1.原码

（1）7是正数，所以标志位为0
（2）剩余的31位表示数字部分：000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111
所以7的原码是：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111

3.1.2.补码

正数的补码与原码一样，所以7在计算机中的存储形式为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111

3.2、第二个例子：-7的存储形式

3.2.1.原码

（1）-7是负数，所以标志位为1
（2）剩余的31位表示数字部分：000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111
所以-7的原码是：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111

3.2.2.补码

负数的补码是除标志位外，其他位按位取反再加一。所以-7在计算机中的存储形式为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001

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四、为什么int型数据取值范围是 $[-2^{31}, 2^{31}-1]$

由原理可知，计算机存储数字时，第一位是标志位，只有31位用来存储数字的值。所以最大表示的正数为0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111，即： $2^{31}-1$
对于负数，当存储数字的31位均为1时，值为 $2^{31}-1$，加上标志位1，此时的负数原码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
对应的补码为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
用类似的表示方法可以表示出 $[-2^{31}-1, 2^{31}-1]$中的数，但是如果这么计算的话，1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 这个数字就被浪费了。对于计算机宝贵的内存，浪费是绝对不允许的，所以1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000这个数字就被规定为表示 $-2^{31}$。所以int型数据取值范围是 $[-2^{31}, 2^{31}-1]$

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五、为什么要用补码

5.1.类比：时钟使用补码计算加减

例如：时钟的计量范围是0~23，所以时间的模等于24。假设当前时针指向17点，而准确时间是9点，调整时间可有以下两种方法：
1.倒拨8小时，即：17 - 8 = 9；
2.顺拨16小时：17 + 16 = 33 ; 33 % 24 = 9
此例中， 16 就是 -8 在 24 进制中的补码表示。用 16 表示 -8 的好处是将减法转为了加法。

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5.2.计算机使用补码计算加减

如果正数和负数都用原码表示，计算机计算加减法需要做不同的处理。而如果使用补码表示，计算机计算加减法时统一使用加法计算即可，减轻了计算机的负担。

5.2.1.第一个例子：计算 9 + 5

9 的补码表示为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
5 的补码表示为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101
两个补码相加，并去掉32位以外的数（本例结果没有32位以外的数）：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110
即得到了结果 14

5.2.2.第二个例子：计算 9 - 5

9 的补码表示为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
-5 的补码表示为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011
两个补码相加，并去掉32位以外的数：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100
即得到了结果 4

5.2.3.第三个例子：计算 $-2^{31}+1$

上文说道，为了不浪费内存，1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000这个数字被规定为表示 $-2^{31}$，事实上这个数字表示 $-2^{31}$并不是凭空规定的，它也符合补码的加减规则。
$-2^{31}$ 的补码表示为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
1 的补码表示为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
两个补码相加，并去掉32位以外的数（本例结果没有32位以外的数）：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
即得到了结果 $-2^{31}+1$

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六、拓展

由原理可推导出：
Java中short型整数占16位，取值范围： $[-2^{15}, 2^{15}-1]$
long型整数占64位，取值范围： $[-2^{63}, 2^{63}-1]$

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附一：位、字节、字符的区别

• 位（bit）：计算机内部，数据储存的最小单位。如：00110011 是一个八位二进制数
• 字节（byte）：计算机中数据处理的基本单位。通常用大写的 B 表示，1 byte = 8 bit
• 字符：计算机中使用的字母、数字、字、符号。

在 ASCII 编码中：
1 个英文字母占 1 个字节
1 个汉字占 2 个字节
1 个 ASCII 码占 1 个字节

在 UTF-8 编码中：
1 个英文字符、英文标点占 1 个字节
1 个中文字符、中文标点占 3 个字节

在 Unicode 编码中：
1 个英文字符、英文标点占 2 个字节
1 个中文字符、中文标点占 2 个字节

附二：Java 中八种基本数据类型占用空间

• boolean：1 字节
• byte：1 字节
• short：2 字节
• int：4 字节
• long：8 字节
• char：2 字节
• float：4 字节
• double：8 字节

注：

• 不带后缀的整数默认为 int，不带后缀的小数默认为 double
• 超出 int 取值范围的整数必须添加后缀 L或者l，表示 long 类型。建议使用L，因为l容易与数字 1 混淆
• 带有F或f后缀的数都属于 float 类型，带有D或d后缀的数都视为 double 类型
• 编译器会在编译期检查八种基本类型的取值范围，如果超出了范围会报错
• int 值可以赋值给所有数值类型；
• long 值可以赋值给 long、float、double类型，为什么 long 值占 8 个字节可以赋值给只占 4 个字节的 float 呢？这是因为赋值时会自动舍弃精度并转换为科学计数法。如：Long.MAX_VALUE: 9223372036854775807，赋值给 float，变为：9.223372E18
• float 值可以赋值给 float、double 类型
• double 值只能赋值给 double 类型

参考文章

1.补码_百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E8%A1%A5%E7%A0%81

2.Java中八种基本数据类型占用字节空间总结

3.位、字节、字符的区别