`Tarjan`算法求双连通分量

双连通
1. 边双连通：连通的无向图中，对于两个点 u和v ，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 u和v 边双连通 。
2. 点双连通：连通的无向图中，对于两个点 u和v ，如果无论删去哪个点（只能删去一个，且不能删u和v 自己）都不能使它们不连通，我们就说u 和v 点双连通 。
3. 边双连通具有传递性，即，若x,y 边双连通，y,z 边双连通，则x,z 边双连通。
4. 点双连通不具有传递性，反例如下图，A,B 点双连通，B,C 点双连通，而A,B 不点双连通。

割点和割边

割点：对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

割点的性质：

根结点：如果是割点条件是，当且仅当其子节点数大于等于 2；
非根节点 ：u 如果是割点，当且仅当 u 至少存在一个子树v，v中没有连向 u 的祖先的边(返祖边)。即v访问结束时满足low[v]>=dfn[u]。

code

void tarjan(int u,int fa){ //当fa=0时，说明该节点是根节点;
    int num=0; //用来记录子节点数；
    low[u]=dfn[u]=++Time;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){//v为白点，即(u,v)为树枝边
            tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(!fa && ++num>1||fa && low[v]>=dfn[u]){  
            //1.根节点是割点，且子节点数大于等于2； 
            //2.非根节点是割点，且子节点中没有返祖边； 
                cutpoint[u]=1; //标记该点为一个割点；
            }
        }
        else if(v!=fa){//返祖边
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

割边：对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。

桥的性质：

边(u, v)在dfs 树中。如果u 为v 的父亲，v 的子树中没有向u 或其祖先连的边。
如果桥(u,v)的两个端点都不是叶子节点，则节点u和v为割点。

code

void tarjan(int u,int fa){
    bool flag=0; //用来判断是否存在重边
    low[u]=dfn[u]=++Time;
    for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//儿子更新父亲
            if(dfn[v]==low[v]){//它的子节点v的子树中，没有像u或其祖先连的边(返祖边)
                bridge[i]=bridge[i^1]=1;  //边i和i的反向边是桥，边的编号从0开始
            }
        }
        else if(v!=fa || flag){//重边，两个点算环
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);            
        }
        else flag=1;//反向边置标记为1
    }
}

双连通分图

边双连通图：如果任意两点至少存在两条边不重复路径，则称该图为边双连通的。
- 边双连通图的定义等价于任意一条边至少在一个简单环中。
- 边连通分量：边双连通的极大子图称为边双连通分量。
- 边双连通分量的特点
  1. 任意一条边至少包含在一个简单环。
  2. 连通分量里没有桥。
  3. 割点只属于一个边双连通分量
  4. 两个边双连通分量最多只有一条边，且必为桥。进一步地，所有边双与桥可抽象为一棵树结构。
- 边双连通分量里，一个点有可能出现在多个简单环里，所以我们在当前点u的所有子树访问结束，即变黑后，如果dfn[u]==low[u]，从栈顶到u的点均为同一边双连通分量，节点u必然是此边双的最早访问的点。
- code
```
void tarjan(int u,int fa){
    bool flag=0;//是否有重边
    low[u]=dfn[u]=++Time;
    st[++Top]=u;//依次进栈
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){//白点
            tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//儿子更新父亲
        }
        else if(v!=fa || flag){//重边
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
        else flag=1;//反向边置标记为1
    }  //u的子树全部访问结束，边双缩点
    if(low[u]==dfn[u]){ 
        num++;
        int tmp;
        do{
            tmp=st[Top--]; //退栈,原来栈中的元素构成一个边双
            belong[tmp]=num;
        }while(tmp!=u);
    }
}
```

点双连通图：如果任意两点至少存在两条点不重复的路径，则称这个图为点双连通的（简称双连通）；

点双连通图的定义等价于任意两个点都在同一个简单环中。
点双连通分量：点双连通的极大子图称为点双连通分量（简称双连通分量）
点双连通分量的特点：
1. 该连通分量的点在同一简单环
2. 该连通分量没有桥。
3. 一个割点可以多个点连通分量。

code

void tarjan(int u,int fa)
{
    low[u]=dfn[u]=++Time; 
    st[++Top]=u;//依次进栈
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){  
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(dfn[u]<=low[v]){//如果u为割点，点双缩点                
                ++num; //num表示第几个点双区域(一个图可能存在多个点双) 
                while(st[top+1]!=v){//从栈顶到v依次出栈
					int w=s[top--];//去栈顶并退栈
					dcc[num].push_back(w);//节点v属于编号为num的点双
				}
                dcc[num].push_back(u);//u可以在多个dcc，所以不出栈
            }
        }
        else if(v!=fa){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

4. 强连通分量和双连通分量常见的模型和问法

双连通分量
1. 有一些点，一些边，加最少的边，要使得整个图变成双联通图。
  - 如果是连通图，先缩点，建图，新图为一颗树，求出叶子节点个数cnt，最后答案为(cnt+1)/2
  - 如果是非连通图，缩点后，先把单点连起来，再来就算叶子个数，或把单点算两个叶子。
2. 连通图，给一个起点和一个终点，问从起点到终点的必经点。
  - 点双缩点，然后建成树，起点到终点路径上点均为必经点。
强连通分量
1. 有一些点，一些有向边，求至少加多少边使任意两个点可相互到达
  - 求出所有的分量，缩点，分别求出出度和入度为0的点的数量，取多的为答案；
2. 有一些点，一些有向边，求在这个图上走一条路最多可以经过多少个点
  - 求出所有的分量，缩点，形成一个或多个DAG图，然后做DAG上的dp
3. 有一些点，一些有向边，给出一些特殊点，求终点是特殊点的最长的一条路
  - 求出所有分量，并标记哪些分量有特殊点，然后也是DAG的dp

5. `Tarjan`求最大最小环

Tarjan算法一般用来强连通分量，它依次访问图中的各个强连通分量，这题要求最大环，而环也是强连通分量的一部分.
在每个点访问其他点时修改时间戳，达到每个环上时间戳连续的目的，这样当访问到一个栈中节点时就能直接更新最大环了。根据同样的思路，即使边权任意，也可求最大环或最小环。

code

void tarjan(int fa,int u){
	dfn[u]=low[u]=++Time;	
	vis[u]=1;s[++top]=u;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(fa==v)continue;
		if(!dfn[v]){
			int tmp=Time;//先记录父节点u的时间戳
			tarjan(u,v);
			Time=tmp;//子树v处理完了，让下一个子树时间戳从Time+1开始
			low[u]=min(low[u],low[v]);	
		}else if(ins[v]==1){//发现返祖边
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
			ans=max(ans,dfn[u]-dfn[v]+1);//环上的点的dfn值是连续的
		}
	}

那求最小环如何求？
带权最小环或最大环如何求呢？

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