[note] 电磁场与微波课组（二） 波动光学（1）

中学光学复习

• 光沿直线传播
• 光独立传播（并不会发生散射）
• 光的反射、折射
• 光路可逆
• Fermat原理（光的路径是光程最短的路径）
• 全反射

其中独立性是我们接下来研究波动光学的一个重要基础。另一个是波的叠加。

光的干涉

光是电磁波

Maxwell通过数学推导，得出电磁波的速度接近光速。从而大胆猜测，光是电磁波，也就是说光是波，满足波的独立性和叠加性。这为我们科学解释光科学现象提供理论基础。

原子发光模型

从激发态回到基态的电子，放出能量，产生光子。

两大基本特征：间歇性和随机性。

激发态的寿命是有限的，一般为 $10^{-11}\sim10^{-8}$，这种早夭的特性，决定了不能有连续的自发激发态的原子完成发光行为。
对外表现为辐射出一定频率、振动方向，长度有限的光波列，虽然由于不连续（间歇性），但是因为这种光不相干（随机性）且频率较高，所以人眼看到的是连续的图像。

单色光

具有单一频率或波长的光，通常发生在有限长的单色波列中。

相干光

光矢量

光波中的电场矢量 $\overrightarrow{E}$称为光矢量。

利用这种矢量想法，我们建立平均光强时，使用类似余弦定理的形式。
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2\cos\Delta\varphi}$

稳定相干条件：

• 确定的相位差（必要条件）

  实际上这一点就作为相干条件。

• 振动方向平行
• 频率

干涉的光强分布

干涉实际上是波的叠加的一个实例。
相差 $2k\pi$相长，相差 $(2k+1)\pi$相消。

由上述光强叠加的讨论，只有当两光源光强相等的时候，相消处才会出现完全暗带。

干涉光的相长、相消区，在空间上分布为两条双曲线。

光源的相干长度

根据普通光源发光的特点，分光再汇聚时，波程差不能大于原子光波列的长度：这个长度定义为相干长度

我们注意到薄膜干涉里，汇聚的两束光控制不当，很可能不来自于同一个波阵面，如果大于光波列长度，那么它们将不来自同一个光波列、不具有相干性。

获得相干光的方法

由这个相干长度的考量，相干光其实并不容易获得。所以光究竟是粒子还是波，争论持续百余年。直到Thomas Young巧妙的设计了双缝干涉实验，才最终获得了解决。

主要的获得相干光的方法有如下几种：

• 分振幅法：薄膜干涉（分的是能量）
• 分波阵面法：杨氏双缝干涉
• 激光法

杨氏双缝

公式推导：
$\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda }\delta=\frac{2\pi}{\lambda }(r_2-r_1)$
利用泰勒公式， $r_2-r_1=\sqrt{D^2+(x+d/2)^2}-\sqrt{D^2+(x-d/2)^2}\approx D\cdot\frac{xd}{2D^2}\times 2=\frac{xd}{D}, x,d<<D$

联合先前得到的相位差的结果， $\Delta\varphi=2k\pi$时为亮纹。
$x_k=k\frac{D\lambda}{d}$

这就是亮纹公式。

相邻亮纹间距：
$\Delta x = x_{k+1}-x_k=\frac{D\lambda }{d}$

助记： $d,x$是泰勒近似中的同一个括号里的。所以相乘。等于另外两个相乘。

这个 $k$将明纹表示成一系列的等差级数。从而我们可以将双缝最中间的亮纹到外侧依次表示为 $k$级级数。

利用这样的语言，我们可以描述复色光的彩纹顺序。蓝紫光波长小，对应间距小，所以在一级明纹中靠内。

洛埃镜实验

一实一虚两个两个光源。虚光源通过镜面反射产生。

结论与杨氏干涉类似，唯一的注意点是当投影面与镜面端相交时，交点处本应该出现亮纹的地方成为暗纹。这是由半波损失引起的。

薄膜干涉

光程

单色光再真空中的波长：
$\lambda = \frac{c}{\nu}$
$\lambda'=\frac{u}{\nu}=\frac{c/n}{\nu}=\frac{c/\nu}{n}=\frac{\lambda }{n}$

折射率较大的介质，使得光的波长减小，使得在单位空间长度的相位变化增大。
从这个意义上说，折射率是介质中相位变化的稠密度。

在相位改变相同的情况下，把光在介质中传播的路程折合为光在真空中传播的路程，也就是光程。

这是我们研究薄膜干涉的理论基础。

半波损失

• 从光疏到光密
• 垂直或掠射

反射光绘有 $\pi$相位突变。表现在原有相长处为相消，从而称为损失。

投射不发生半波损失。

薄膜等倾干涉

名字上看起来比较反智。这个是厚度均匀的薄膜，看起来像等厚干涉，然而……是考虑观察平面垂直于相干光。

满足 $n_2>n_1,n_3$的条件时，要考虑半波损失。

劈尖膜

$\delta=2nd+\frac{\lambda}{2}=\begin{cases}k\lambda,&light\\(2k+1)\frac{\lambda}{2}&dark\end{cases}$
从这个例子，我们其实可以利用起点处是否发生半波损失来确定光程差。

$r_l=\frac{\lambda}{2n}(k-\frac{1}{2}),r_d=\frac{\lambda }{2n}k$

相邻条纹所对应的后度差：
$d_{k+1}-d_k=\frac{\lambda}{2n}$
相邻条纹间隔：
$l=\frac{\Delta d}{\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{2n\theta}$

牛顿环

$\delta = 2d+\frac{\lambda}{2}=\begin{cases}k\lambda\\(2k+1)\frac{\lambda}{2}\end{cases}$
由几何关系：
$r^2=R^2-(R-d)^2\approx2Rd$
$r_l=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}},r_d=\sqrt{kR\lambda}$
越向外，级数越高，内疏外密。

薄膜等厚干涉

本质上是均匀厚度薄膜的斜反射，倾角相等，故称等厚干涉。

光程差公式：
$\delta=2nd\cos\gamma+\frac{\lambda}{2}$
微分，光程差之差
$\Delta\delta=2nd\sin\gamma\Delta\gamma$
相邻明纹光程差必定是一个波长。
$\Delta\delta \approx \lambda,\Delta\gamma\approx\frac{\lambda}{2nd\sin\gamma}$
观察到， $\gamma\in[0,\frac{\pi}{2}),\gamma\nearrow,\Delta\searrow$
所以呈内疏外密。

但分析光程差， $\gamma=0$时， $\delta$最大。所以级数递减。