[note] 电磁场和微波课组（二） 波动学: 振动和波

简谐振动

概念

• 机械振动：在一定位置附近所作的来回往复运动
• 简谐振动：字面理解为简单和谐的振动。即离开平衡位置的位移按照余弦函数的规律随时间变化。
• 弹簧振子：质量为 $m$的物体系于一端固定的轻弹簧自由端所组成的力学系统。
• （弹簧振子的）平衡位置：弹簧为原长时，物体所受的合力为 $0$，处于平衡状态的位置
• 回复力：振动过程中使物体趋向平衡位置的力。
• 线性回复力：谐振的动力学特征

运动学描述

$x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

振幅A

离开平衡位置的最大位移的绝对值

周期和频率

简谐运动的主要运动特征周期性。

• 完成依次完整振动所需的时间称为周期
• 单位时间所完全振动的次数称为频率
  $\nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi}$

（弹簧振子的）固有频率：
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
这是微分方程解的直接结果。可以看出这个值仅有弹簧振子的系统决定。

相位 $(\omega t+\varphi_0)$

很本质的特征

重要概念：

• 相位差 $\Delta \varphi=(\omega t_2+\varphi_{20})-(\omega_1 t+\varphi_{10})$
• 初相 $t = 0, \varphi_0$
• 初相差（两个波的频率相同时的相位差）

超前和落后的判别：
两个相位相差小于 $2\pi$的波，其中被减的波称为超前波，超前的量决定于它们的相位差。这个图像在旋转矢量图中很容易看出

运动学特征

位移和加速度关系的运动方程可以利用牛二：
$\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-\frac{k}{m}x$

解这个微分方程，可以设方程的通解为 $C_1\cos\omega x+C_2\sin\omega x$

利用辅助角公式，我们可以将其化成：
$A\cos(\omega t+\varphi_0)$
的形式。如果有初值条件（实际问题是往往具有的），从而位移的特征就唯一地确定下来。

简谐振动的能量关系

简谐振动成立的条件就在于能量不耗散，从而机械能守恒。

对水平弹簧振子
$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E$
求导，
$mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+kx\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0$
代入 $v=\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt}$，导出了运动方程。

这给我们指出了一条解决运动方程的好思路。

例题 利用能量法求解有重弹簧振子的周期。

几种常见的简谐振动

摆

• 不可伸长细轻绳，上端固定于重力场中一个定点，下端固结重小球，构成单摆
• 可绕固定轴摆动的刚体称为复摆

对单摆，在摆动幅度极小时，近似认为 $l=h, J=ml^2$ $,\sin\theta\approx\theta$
对运动方程：
$-mgh\sin\theta=\bm{J}\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}$
原式转化为：
$\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}=-\omega^2\theta$

旋转矢量图示法

矢量为我们提供了可以同时表示 $A,\omega, \varphi_0$三个物理量的运算系统。

我们应该注意到，仅旋转矢量的 $x$轴投影即可以包含我们所需的所有信息。

由于圆中的弧度的几何关系特别明确且易用，所以这个方法主要用来求算相位差。

1. 以振幅为长度作单位圆，称为参考圆。
2. 矢量投影建立起位移和相位的关系。

小结：

• 受到线性回复作用的振动运动叫做简谐振动
• 典型的简谐振动

实际振动

阻尼振动(了解)

$F_f=-\gamma v=-\gamma\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$
阻尼的情形：

• 过阻尼
• 临界阻尼 $\gamma=k$,或阻尼常量 $\frac{\gamma}{m}=\omega_0$
• 小阻尼

振动的合成

两个同方向同频率SH的合成

解析法：和差化积（困难）
矢量的平行四边形法。结合余弦定理
$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\varphi)}$
于是我们可以很清楚的看到，这个振幅和相位差有关。而对向运动的两个波，在其间一个确定的位置上对两波的相位差是一定的。所以在移动麦克风的过程当中出现了波峰波谷

多个同方向同频率SH的合成

方法同两个求解类似。

振幅最大最小值不一定在同相、反相处取

两个同方向不同频率SH合成

这里研究一个特殊的情形：
即振幅相等的情形：
$x=x_1+x_2=2A\cos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2})t\cdot\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})t$
整个图像是一个斜拉索桥的形状，第一个余弦导致桥拱的出现，第二个余弦导致拉索。

桥拱对应拍频，对应余弦的两倍频率。
$\nu=2\frac{|(\omega_1-\omega_2)/2|}{2\pi}=|\nu_1-\nu_2|$

两个垂直方向简谐振动

• 同频振动：总会画出椭圆或者退化的椭圆

• 非同频振动：整数周期利用李萨如图形判别频率之比

机械波

机械波的产生和传播

产生

• 波源
• 弹性介质

横波和纵波

• 横波：质点振动方向 $\bot$波传播方向
• 纵波：质点振动方向//波传播方向

波的本质

是相位的传播，波动中各个质点不随波前进

波的描述

力线描述

波面：振动相位相同的点联结成的面
波线：沿波的传播方向的直线
波前：某一时刻波传播到的最前面的波面

振动描述

波长：统一波线上相位差为 $2\pi$的相邻两点距离(空间尺度的周期)
周期：前进一个波长所需时间
波速：振动状态在媒质中的传播速度
$u=\frac{\lambda}{T}$

波的频率 $\nu$与媒质性质无关，波速受媒质影响，拉紧的绳中横波波速 $u_t=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$，均匀细棒中纵波波速 $u_l=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$

最简明模型——平面简谐波

波面为平面的简谐波

对于这个模型，为了研究空间中各点，只用研究和波面垂直的一条线上的波函数分布即可。

平面简谐波的波函数方程，利用波源振动方程，以及波程差，可以写作：

$y(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi_0\right]$
分析知，给定 $x$后，方程退化成某个波面上点的振动方程。给定 $t$后，方程退化成 $t$时刻的波的位移分布图像。

求平面简谐波函数的步骤

step 0：取定基准点
step 1：求相位差
$\Delta\varphi=\omega\cdot\Delta t=\frac{x-x_1}{u}$

step 2：求相位
如果波正向传播，那么基准点相位落后。
反之超前。
$\varphi_0\pm\Delta \varphi$

step 3：写出波函数
分析知，仅相位变化。
$y(x,t)=A\cos(\varphi_0+\Delta \varphi)$

平面波的波动微分方程

将这个简谐波的二元函数。分别关于 $x$和 $t$求二阶偏导数，随后相除可以得到：
$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$

结合这个波动方程，设弦线张力 $F$，那么对弦线上任一点：
$\sum F_y=F(\tan\theta'-\tan\theta)=F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x+\mathrm dx}-\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_x\right)$
$\sum F_y=F\left(\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\right)\,\mathrm dx$
结合牛二得：
$F\left(\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\right)\,\mathrm dx=\rho_l\,\mathrm dx\frac{\partial ^2y}{\partial t^2}$
结合波动方程得
$\frac{1}{u^2}=\frac{\rho_l}{F}$
即波动方程：
$u=\sqrt{\frac{F}{\rho_l}}$
$F$既是张力，又是线度模量。

波的复杂叠加

Huygens原理

原理叙述

见百科。

应用

理解波阵面

这里有一个重要结论，即：同一介质中波阵面与波源波阵面平行。

解释波的衍射

（波传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物，并发生偏折的现象）：

波传播至障碍物边缘处时，发射的子波包络面不再是平面，而是偏离原有方向，进入本来不可能进入的区域。

解释反射与折射

考核不要求。

驻波

驻波是波的一种空间特性。

干涉

两列波在空间相遇叠加，
$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$

我们讨论一种特例情况，即两个波相干（波长频率相同）
$\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta$
波程差：
$\delta = |r_1-r_2|$

加强条件：

$\delta=N\lambda$

相抵条件

$\delta = (N+\frac{1}{2})\lambda$

驻波

如果两列相反传播的相干波，振幅相同。那么存在部分点相抵，而宏观上静止。从而形成一种空间分布特征不变化的波，也就是驻波。这一点区别于行波。

驻波的描述

$y=y_1+y_2=A\cos2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+A\cos2\pi(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda })$

利用和差化积公式得到：
$y=2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cos\frac{2\pi}{T}t$

物理图像上，有两种典型的不同的

• 不动点称为波节
• 幅值最大点称为波腹

分布特征

• 振幅按位移分布
  $a(x)=|2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x|$
  将这个公式代入驻波公式，可以得到
  $y=a(x)\cos\frac{2\pi}{T}t$
  每个空间周期内对应点处仅在空间特征上相区分。
  每个空间周期中对应点都是同相振动。

能量

波腹处只有动能无势能。波节处仅有势能无动能。每过 $\frac{1}{4}$周期，发生一次相互转化。

半波损失

如果考察点处于波节处，显然会出现运动的损失。

多普勒效应

波长、波速、波频关系

$u=\lambda \gamma$

波源不动，接收者运动的波长、速度、频率关系

$\gamma_w=\gamma_s$
$\lambda = \frac{u}{\gamma_w}=\frac{u}{\gamma_s}$
其中 $\gamma_w$是波频 $\gamma_s$是波源频率。

观测者接收频率：
$\gamma_r=\frac{u\pm v_r}{\lambda}=\frac{u\pm v_r}{u}\gamma_s$

解释：波长仍然均匀，但是相对波速发生变化，所以相当于时间收缩(相对)/膨胀(相向)，分别对应符号的正/负。

接收者不动，波源运动的波长、速度、频率关系

$\lambda'=uT_s\pm v_sT_s$
$\gamma_w=\gamma_r=\frac{u}{\lambda'}=\frac{u}{(u\pm v_s)T_s}=\frac{u}{u\pm v_s}\gamma_s$

解释： 波速 $u$不变的情况下，波长发生不均匀变化，相当于空间上膨胀、收缩。

关于两种情形的记忆

1. 考虑核心的 $\gamma=\frac{u}{\lambda}$公式。
2. 波源动，（是波长不均匀，变化）在分母；接收者动，（是相对波速不均匀，变化）在分子。
3. 大小关系临时推演即可。