概览
- 基于模糊集二值分割
- 对比ostu等其他方法
- 模糊集图像聚类-FCM
- 对比KMeans聚类
- 结合模糊集图像分割的
- 总结
模糊集二值分割
这是篇很古老的论文中的算法，发表与1994年，是清华大学黄良凯（Liang-kai Huang) 所写，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang's fuzzy thresholding method。虽然古老也很简单，但是其算法的原理还是值得学习的。
该论文的原文可从此处下载： Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness。
该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法，本文主要是对其进行简单的翻译和注释，并提供了测试代码。
模糊集及其隶属度函数
首先，我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而xmn代表图像X中点（m,n)处的像素灰度值，定义μx(xmn)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集，用专业的模糊集表达，即有：
其中0≤μx(xmn)≤1，m=0,1,...M-1，n=0,1,...N-1。对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以这种关系来表示μx(xmn)的值。
定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值μ0和μ1可用下式表示：
上述μ0和μ1，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。因此，对于点(m,n)，我们提出如下的隶属度定义函数：
其中C是一个常数，该常数使得0.5≤μx(xmn)≤1。因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。
C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即 C=gmax-gmin;
模糊度的度量及取阈值的原则
模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方式已经被提及了，本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。
基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：
其中香农函数：
扩展到2维的图像，图像X的熵可以表达为：
因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：
可以证明式（6）在区间[0,0.5]之间是单调递增而在[0.5,1]之间是单调递减的，并且E(X)具有以下属性：
（1）0≤E(X)≤1 ;
(2)如果μx(xmn)=0或者μx(xmn)=1时，E(X)具有最小值0，在本文中μx(xmn)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。
（3）当μx(xmn)=0.5，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。
那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。
编程中的技巧
有了上述原理，其实编程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。
首先，为了表达方便，我们定义如下一些表达式：
根据上述表达式，可以知道S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量，其中S(L-1)明显就是像素的总个数。
我们的算法步骤如下：
（1）、计算S(L-1)、W(L-1)，设置初始阈值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;
(2)、 计算下面算式:
稍微有点数学基础的人都应该能看懂上述算式的推导原理。
根据式（2）和式（3），可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为：
上式中int表示取整操作。
（3）根据式（4）及式（11）计算图像的模糊度;
（4）令t=t+1，然后重新执行步骤2，直到t=gmax-1;
(5)找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t，并作为最佳的分割阈值。
为了稍微加快点速度，上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。
与其他二值化方法的对比
OSTU
FuzzyThreshold
模糊集聚类图像分割
最近在研究模糊聚类在图像处理中的应用，其中需要验证一种基于直觉模糊集的直觉模糊C均值聚类(IFCM)算法。直觉模糊决策是一种模糊信息的概念，把只考虑隶属度的经典模糊C均值聚类(FCM)推广为同时考虑真隶属度、假隶属度和犹豫度这三方面信息的直觉模糊集，同时引入一个新的参数即直觉模糊熵。相比经典模糊C均值聚类，使用直觉模糊集定义的模糊聚类可以收敛到一个更理想的聚类中心。模糊聚类广泛应用在控制、模式识别、信号处理、人工智能、决策等领域。本文使用FCM和IFCM算法进行图像分割，用于区分脑CT图像中的不同区域并识别大脑中的异常。
1.模糊理论的介绍
在日常生活中，有许多事物或多或少都具有模糊性，模糊虽难以捉摸，但却非常重要。模糊理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中的事物，以弥补二值逻辑无法对不明确定义边界事物描述的缺点。人类的自然语言在表达上具有很大的模糊性，难以用二值逻辑来完全描述现实生活中的事物。故模糊理论将模糊概念以模糊集合的定义，将事件属于某集合程度的隶属函数加以模糊量化，得到隶属度，来处理问题。
模糊聚类就是用模糊数学的方法，把样本之间的模糊关系定量，从而客观准确地进行聚类，使得各个类之间的数据差别应尽可能大，类内之间的数据差别应尽可能小，即最小化类间的相似性，最大化类内的相似性。而模糊C均值就是一种应用最广泛且较成功的模糊聚类方法。它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到对样本进行分类的目的。
模糊理论的应用
1965年，Zadeh教授提出了著名的模糊集理论，创建了一个新的学科——模糊数学，主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容。其中模糊集合理论是对传统集合理论的一种推广，能较好的描述人类视觉中的模糊性，在模式识别的各个层次都可使用模糊集合理论。模糊理论主要解决在模式识别的不同层次出于信息不全面、不准确、含糊、矛盾等造成的不确定性问题。
2.1 模糊聚类理论
基于模糊集合的特点，模糊聚类方法应运而生。聚类，就是将一组给定的未知类标号的样本分成内在的多个类别，使得同一类中的样本具有较高的相似度，而不同的类中样本差别大。聚类分析的目的是揭示和刻画数据的内在结构，其内容涉及统计学、生物学、以及机器学习等研究领域，并在模式识别、数据分析和挖掘、图像处理等领域获得了广泛的应用。
1973年，J.C. Bezdek提出了里程碑式的模糊C均值聚类算法(FCM)[1]，通过引入样本到聚类中心的隶属度，使准则函数不仅可微，且软化了模式的归属。
在众多模糊聚类算法中，FCM算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的。
2.1.1 FCM算法原理
根据聚类的数目C和一组包含n个L维向量的数据xk,用FCM算法输出元素的隶属度uij,它代表着数据xj是属于第i个类的概率，可以通过求下面式子(1)目标函数的最小值得到，通常取m=2。
其中，式(1)的约束条件为：
在(1)式的约束条件下，可以求得(1)中目标函数取最小值时相应的隶属度矩阵和聚类中心。通常，该最小值用极小值代替，因此分别对各变量求偏导，并令偏导数为0，联立并解出更新后的模糊隶属度和聚类中心，如下公式(2)(3)。
2.1.2 FCM算法流程
根据FCM的基本原理，总结出该算法的步骤如下：
1) 设置目标函数的精度e，模糊指数m（m通常取2）和算法最大迭代次数；
2) 初始化隶属度矩阵
3) 由式(2)(3)更新模糊划分矩阵
4) 若目标函数
5) 根据所得到的隶属度矩阵，取样本隶属度最大值所对应类作为样本聚类的结果，聚类结束。
图1给出FCM的算法流程图。
2.1.3 FCM算法的优劣
FCM算法优越于传统硬C均值聚类算法在于隶属度可以连续取值于 [0,1]区间，考虑到了样本属于各个类的“亦此亦彼”性，能够对类与类之间样本有重叠的数据集进行分类，具有良好的收敛性；而且FCM算法复杂度低，易于实现。然而，FCM也存在着不足之处，如目标函数在迭代过程中容易陷入局部最小、函数收敛速度慢、对初始值、噪声比较敏感等问题。下面从分析模糊C均值聚类划分矩阵的隶属度的含义、划分趋势出发，讨论一种可以改善FCM性能的算法——IFCM算法。在此之前需要引入新的概念，即直觉模糊集。
Fuzzy
KMeans
基于模糊集的图像美颜
- 人脸定位
- 器官部位划分
- 应用模糊集图像分割
- 对相应的部位处理
- 最终图像
参考文献
这是篇很古老的论文中的算法，发表与1994年，是清华大学黄良凯（Liang-kai Huang) 所写，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang's fuzzy thresholding method。虽然古老也很简单，但是其算法的原理还是值得学习的。
该论文的原文可从此处下载： Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness。
该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法，本文主要是对其进行简单的翻译和注释，并提供了测试代码。
模糊集及其隶属度函数
首先，我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而xmn代表图像X中点（m,n)处的像素灰度值，定义μx(xmn)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集，用专业的模糊集表达，即有：
其中0≤μx(xmn)≤1，m=0,1,...M-1，n=0,1,...N-1。对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以这种关系来表示μx(xmn)的值。
定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值μ0和μ1可用下式表示：
上述μ0和μ1，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。因此，对于点(m,n)，我们提出如下的隶属度定义函数：
其中C是一个常数，该常数使得0.5≤μx(xmn)≤1。因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。
C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即 C=gmax-gmin;
模糊度的度量及取阈值的原则
模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方式已经被提及了，本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。
基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：
其中香农函数：
扩展到2维的图像，图像X的熵可以表达为：
因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：
可以证明式（6）在区间[0,0.5]之间是单调递增而在[0.5,1]之间是单调递减的，并且E(X)具有以下属性：
（1）0≤E(X)≤1 ;
(2)如果μx(xmn)=0或者μx(xmn)=1时，E(X)具有最小值0，在本文中μx(xmn)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。
（3）当μx(xmn)=0.5，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。
那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。
编程中的技巧
有了上述原理，其实编程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。
首先，为了表达方便，我们定义如下一些表达式：
根据上述表达式，可以知道S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量，其中S(L-1)明显就是像素的总个数。
我们的算法步骤如下：
（1）、计算S(L-1)、W(L-1)，设置初始阈值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;
(2)、 计算下面算式:
稍微有点数学基础的人都应该能看懂上述算式的推导原理。
根据式（2）和式（3），可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为：
上式中int表示取整操作。
（3）根据式（4）及式（11）计算图像的模糊度;
（4）令t=t+1，然后重新执行步骤2，直到t=gmax-1;
(5)找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t，并作为最佳的分割阈值。
为了稍微加快点速度，上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。