数论之博弈论

数论：博弈论

1.巴什博弈(BAshGame)

题目模板

• 只有一堆n个物品
• 两个人轮流取，每次只能取1~m个物品，谁先取完，谁胜利；（n,m是输入的随机数）

解题思路

1.当 n = m+1 时 第一个取的人不可能获胜；
2.•当 n = k(m + 1) + r 时 （k,r,s都是未知的整数）*

​ •先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个

​ • 此时 n =（k-1）*（m+1）+s

​ •先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=k（m+1） 的局面*

3.•若n=k(m+1) 那么先取者必输*

求解巴什博弈函数

bool bash_g(int n,int m)
{
    if(n%(m+1)!=0)
        return true;
    return false;
}

2.威佐夫博奕（Wythoff’s game）

题目模板

• 有两堆各若干个
• 两个人轮流从某堆或同时从两堆取同样多的物品
• 规定每次至少取一个，多者不限，最后取光的人胜利

解题思路

两堆石子的状态为 [a,b] （满足a<=b）
当 a=(k(√5+1)/2), b=a+k 时满足奇异局势，那么则先手输，反之则先手赢*

求解威佐夫博奕函数

bool Wythoff_Game(int a,int b)//b要大于a
{
    double x=(1+sqrt(5))/2;
    int k=b-a;
    if(a==(int)(x*k))
        return true;
    return false;
}

3.尼姆博奕(Nimm’s Game)

题目模板

有多堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

解题思路

用0与每个数异或,如最后结果为0,则后手胜

设一数组a[n][m],令sum=0

循环与数组每一个数据异或（sum^=a[i][j]）

sum最后等于0则后手胜

求解尼姆博弈函数

a[m]每堆物品的数量  sum=0
int Nimm_Game(int n,int m)//n堆物品，m个物品
{
    for(int i=0;i<n;i++)
	    for(int j=0;j<m;j++)
		    sum = sum ^ a[i][j];
	if(sum == 0)
		return 0;
	return 1;
}

4.斐波那契博弈

题目模板

• 有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，
• 满足：
• 先手不能在第一次把所有的石子取完；
• 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）

求解斐波那契博弈函数 f[50]

int Fib_Game(int n)
{
	f[1]=1;f[2]=1;
	for(int i=3;i<=50;i++)
		f[i] = f[i-1] + f[i-2];
	if( 数组f 中包含 n )
		return 1;//先手赢
	return 0;
}

5.环形博弈

题目模板

n个石子围成一个环,每次取一个或者取相邻的2个（每个石子有序号）

求解

石子数<=2先手赢,否则后手赢,偶数先手，奇数后手