FFT与游戏开发（六）
先上成果，简单的漫反射光照，不过已经可以体现出法线了。
法线
有了高度场，还需要法线信息，法线可以通过对高度场求梯度得到，这里默认z轴朝上。
- 高度场(Height)
\[P(x,y,t) = (x,y,H(x,y,t)) \]
- 副切线(BiTangent)
\[\begin{aligned} B(x,y,t) &= \left( \frac{\partial x}{\partial x}, \frac{\partial y}{\partial x}, \frac{\partial H(x,y,t)}{\partial x} \right) \\ &= \left( 1, 0, \frac{\partial H(x,y,t)}{\partial x} \right) \\ \end{aligned} \]
- 切线(Tangent)
\[\begin{aligned} T(x,y,t) &= \left( \frac{\partial x}{\partial y}, \frac{\partial y}{\partial y}, \frac{\partial H(x,y,t)}{\partial y} \right) \\ &= \left( 0, 1, \frac{\partial H(x,y,t)}{\partial y} \right) \\ \end{aligned} \]
- 法线(Normal)
\[\begin{aligned} N(x,y,t) &= B(x,y,t) \times T(x,y,t) \\ &= \left( -\frac{\partial H(x,y,t)}{\partial x}, -\frac{\partial H(x,y,t)}{\partial y}, 1 \right) \end{aligned} \]
高度场的全微分（梯度）
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\[\begin{aligned} \nabla h(\overrightarrow x, t) &= \left(\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y} \right) \\ &= \nabla \sum_{\overrightarrow k} \tilde h (\overrightarrow k, t) e^{j \overrightarrow k \cdot \overrightarrow x} \\ &= \sum_{\overrightarrow k} \tilde h (\overrightarrow k, t) \nabla e^{j \overrightarrow k \cdot \overrightarrow x} \\ &= \sum_{\overrightarrow k} \tilde h (\overrightarrow k, t) \nabla e^{j(k_x x + k_z z)} \\ &= \sum_{\overrightarrow k} \tilde h (\overrightarrow k, t) \left( e^{j(k_x x + k_z z) }jk_x, e^{j(k_x x + k_z z) }jk_z \right) \\ &= \sum_{\overrightarrow k} \tilde h (\overrightarrow k, t) j \overrightarrow k e^{j \overrightarrow k \cdot \overrightarrow x} \\ \end{aligned} \]
由此可以套用之前计算高度场的那套iFFT，只不过$$ \tilde h $$变成了$$ \tilde h j \overrightarrow k $$