1. 线性变换的定义
线性代数讲的是向量的加减乘除,向量的变换等;向量变换中,有一种特殊的变换,叫做线性变换,那么,什么是线性变换呢?
假设:
如果:
那么,向量变换T就是线性变换
2. 线性变换举例
假设:
计算向量变换T是否是线性变换,假设:
1. 计算条件一是否满足
2. 计算条件二是否满足
两个条件都满足,因此向量变换T是线性变换
如果向量变换只涉及到不同分量的线性组合,那么该向量变换很可能就是线性变换
线性代数分为:线性组合 linear combinations、线性变换 linear transformation
3. 单位矩阵
假设:
矩阵I就是n * n的单位矩阵
单位矩阵一个非常好的性质:单位矩阵乘以任何向量,结果还是原向量
标准基:单位矩阵的列向量集合
称为的标准基
4. 线性变换与矩阵向量积之间的关系
矩阵向量积,满足线性变换的两个条件,因此矩阵向量积是线性变换。任何线性变换,都可以被重新描述为矩阵与向量的乘积,为什么要用矩阵向量积表示线性变换?因为特别简洁。那么如何才能将一个线性变换表示成矩阵与向量的积?
5. 线性变换重写为矩阵向量积
任意向量都可以写成标准基的线性组合:
根据线性变换的定义:
此时,线性变换就重写成了矩阵与向量的积:
1. 对标准基的每一个列向量执行相同的线性变换,从而构造需要的矩阵。
2. 用构造出的矩阵乘以向量,就将原线性变换重写成了矩阵向量积
6. 举例
假设:
因此:
重写完毕