Josh 的学习笔记之数字通信（Part 3——基带信号解调与检测）

  基带信号传输中的接收波形已经是脉冲形式，为什么还需要解调器来恢复脉冲波形呢？原因是到达的基带波形不是理想脉冲（每个码元只占据自己的码元间隔） 。由于发送端滤波器和信道的原因，接收脉冲序列存在着码间串扰（ISI），从而产生拖尾信号，这些信号不利于采样检测。解调器（接收滤波器）的目的是消除码间串扰，恢复具有大信噪比（SNR）的基带信号。本文讲述的均衡技术就能够实现这个目的。虽然并不是所有的通信信道都需要均衡，但由于它是一种补偿信道干扰的综合信号处理技术，因此成为许多系统非常重要的组成部分。

  后续将论述的检测过程的带通模型，本质上与本文介绍的基带模型相同，因为在检测之前，必须先将带通信号转换为基带信号。对于线性系统来说，信号检测的数学表达式不受频率搬移的影响，并有下面的等价定理（equivalence theorem）：先对带通信号做线性处理，然后用外差法将信号转换为基带信号； 其结果与先用外差法将信号转换为基带信号，然后对基带信号做相应的线性处理相同。“外差”（heterodying）是指一种称为“频率转换”（frequency conversion）或“混频”（frequency mixing）的信号处理过程，它实现了信号的频谱搬移。该等价定理的一个推论是，所有的线性仿真处理过程对基带信号（一般比较简单）作用的结果与对带通信号作用的结果都是相同的，这表明可以把大部分数字通信系统当做基带系统进行描述和分析。

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1. 信号和噪声

1.1 通信系统中差错性能的劣化

  检测器的目的，是以尽可能少的差错从已经产生失真的接收波形中恢复原信息流。引起差错性能下降的主要原因有两个。第一个原因是第 3 节将介绍的发送端、信道和接收端的滤波的影响，非理想的系统传递函数会引起码元“拖尾”而产生码间串扰（ISI）。

  另一个原因是电子噪声以及其他各种噪声源的干扰，如宇宙大气噪声、开关瞬态噪声、互调噪声和来自其他噪声源的干扰信号。采用适当的预防措施可以有效地减少甚至消除许多接收器中的噪声和干扰。但是，有一种噪声是无法消除的，就是导体中电子热运动产生的热噪声，该噪声是一种加性噪声，存在于放大器和电路中。运用量子力学已获知了热噪声的统计特性。

  在《Part 1——信号和频谱》的 5.5 小节已介绍，热噪声的主要统计特性是噪声振幅服从正态或高斯分布，如图 1.7。由该图可知，振幅值主要集中在零点附近。从理论上讲，噪声可以达到无穷大，但是这种情况发生的概率很小。在通信系统中，热噪声的主要频谱特性是： 在所讨论的频率范围内双边功率谱密度 $G_n\left( f \right) =\dfrac{N_0}{2}$。换言之，热噪声高频部分（至 $10^{12}\text{ Hz}$）的功率谱密度与低频部分的功率谱密度相同。当噪声的功率谱密度为常数时，称为白噪声（white noise）。因为热噪声存在于所有的通信系统中， 并且在许多系统中都是主要噪声源，所以在信号检测过程或接收机设计中，通常利用热噪声的特性（ 加性、白的、高斯的，即 AWGN）建立噪声模型。若信道为 AWGN 信道且没有其他减损，就可以认为信道减损是由热噪声引起的。

1.2 解调和检测

  在给定信号间隔 $T$ 内， 二进制基带系统可能发送的信号波形有两种，分别记做 $g_1\left( t \right)$ 和 $g_2\left( t \right)$。 类似地， 二进制带通系统可能发送的信号波形也有两种，分别记为 $s_1\left( t \right)$ 和 $s_2\left( t \right)$。 既然带通信号和基带信号的一般解调检测方法是相同的，那么这里就可以用 $s_i\left( t \right)$ 作为发送波形的一般表示，而不必区分是带通系统还是基带系统，这就使得本文介绍的大多数基带信号解调/检测处理与后续将介绍的带通信号的相关处理是一致的。 因而，在任何二进制信道中，定义在码元间隔 $\left( 0,T \right)$ 上的发送信号可以表示为
$s_i\left( t \right) =\begin{cases}\begin{aligned} &s_1\left( t \right) ,&0\leqslant t\leqslant T&\left( \text{二进制}1 \right)\\ &s_2\left( t \right) ,&0\leqslant t\leqslant T&\left( \text{二进制}0 \right)\\ \end{aligned}\end{cases}$信道的冲激响应为 $h_c\left( t \right)$，噪声为 $n\left( t \right)$，相应的接收信号 $r\left( t \right)$ 为
$r\left( t \right) =s_i\left( t \right) \ast h_c\left( t \right) + n\left( t \right) ,\,\,i=1,\cdots ,M$其中， $n\left( t \right)$ 假定是均值为零的加性高斯白噪声（AWGN）， $\ast$ 表示卷积运算。对理想信道的二进制传输来说，卷积 $h_c\left( t \right)$ 不会产生干扰（因为理想信道中 $h_c\left( t \right)$ 是冲激函数），此时 $r\left( t \right)$ 的表达式可以简化为
$r\left( t \right) =s_i\left( t \right) + n\left( t \right),\,\,i=1,2,\,\, 0\leqslant t\leqslant T$  图 3.1 给出了典型的数字接收机解调/检测示意图。 在这里，“解调”指信号波形的恢复（恢复为无失真基带脉冲），“检测”则指采样判决过程。 如果没有纠错编码，检测器的输出是信息码元的估计成 $\widehat{m}_i$（也称为硬判决）。如果采用纠错编码，则检测器的输出是信道码元（编码位）的估计 $\widehat{n}_i$，它可以是硬判决也可以是软判决。 为简化表述，在不引起混淆的情况下，用“检测”表示包括判决过程在内的所有接收机信号处理过程。 图 3.1 中解调器部分的“频率下搬移”（frequency down-conversion）方框的作用是将射频（RF）信号进行频谱搬移，这个功能的具体实现方法有多种。 该方框既可以放在接收机前端，也可以置于解调器中，或略去不用。

图3.1 数字信号解调/检测的两个基本步骤

  接收滤波器（receiving filter, 本质上属于解调器）位于图 3.1 所示的解调和采样方框中间，它的作用是恢复信号波形，为接下来非常重要的一个步骤——检测做准备。由于发送机和信道的滤波作用，接收序列存在着码间串扰，因而不适宜直接进行采样检测。接收滤波器的目标是，在无码间串扰的前提下，恢复具有最大信噪比的基带脉冲。能够实现这个目标的最佳接收滤波器称为匹配滤波器（matched filter）或相关器（correlator），此部分内容将在 2.2 小节和 2.3 小节中介绍。若信道产生的码间串扰使信号发生失真，则可以在接收滤波器之后接一个均衡器。为了强调它们各自的功能，接收滤波器和均衡器以两个分离的方框出现。但是在大多数情况下，当采用均衡器时，单个滤波器应当设计成两个功能的合并，即它能同时补偿发送器和信道产生的信号失真。这样的合成滤波器通常简称为均衡滤波器（equalizing filter）或接收均衡滤波器（receiving and equalizing filter）。

  图 3.1 突出了解调/检测过程的两个步骤。第一个步骤是从波形到采样信号的转化，由解调器之后的采样器完成。在采样器的输出端，将每个码元间隔 $T$ 的末端点，即预检测点处的采样记为 $z\left( T\right)$，有时也称为检验统计量。 $z\left( T\right)$ 的电压值与接收信号的能量成正比，与噪声能量成反比。第二个步骤是根据采样信号的数字意义做出判决（检测）。假定输入噪声是高斯随机过程，解调器中的接收滤波器是线性的。由于高斯随机过程的线性变换仍然是高斯随机过程，因此滤波器的输出噪声也是高斯的。第一个步骤的输出是如下的检验统计量：
$z\left( T \right) =a_i\left( T \right) +n_0\left( T \right) ,\,\,i=1,2$其中， $a_i\left( T \right)$ 是所需的信号分量， $n_0\left( T \right)$ 是噪声分量。为了简化表述，通常将上式表示为 $z=a_i+n_0$。噪声分量 $n_0$ 是均值为零的高斯随机变量，所以 $z$ 是均值为 $a_1$ 或 $a_2$ 的高斯随机变量（具体是哪一个取决于发送的二进制信息是 0 还是 1）。高斯随机变量 $n_0$ 的概率密度函数（pdf）为
$p\left( n_0 \right) =\frac{1}{\sigma _0\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{n_0}{\sigma _0} \right) ^2 \right]$其中， $\sigma_0^2$ 是噪声方差。因此由上两式可得条件概率密度函数 $p\left( z \mid s_1 \right)$ 和 $p\left( z \mid s_2 \right)$ 的表达式为
$p\left( z \mid s_1 \right) =\frac{1}{\sigma _0\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{z-a_1}{\sigma _0} \right) ^2 \right]$ $p\left( z \mid s_2 \right) =\frac{1}{\sigma _0\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{z-a_2}{\sigma _0} \right) ^2 \right]$其曲线表示见图 3.2。右边的条件概率密度函数 $p\left( z \mid s_1 \right)$ 称为 $s_1$ 的似然（likelihood）函数，表示在已知输入为 $s_1$ 的条件下随机变量 $z\left( T \right)$ 的概率密度函数。同样地，左边的条件概率密度函数 $p\left( z \mid s_2 \right)$ 称为 $s_2$ 的似然函数，表示在已知输入为 $s_2$ 的条件下随机变量 $z\left( T \right)$ 的概率密度函数。横坐标 $z\left( T \right)$ 表示图 3.1 中第一个步骤采样输出的取值范围。

图3.2 两个条件概率密度函数

  对接收信号采样后，波形的实际形状已经不重要了；所有采样结果相同的波形对于检测目的来说都是等价的。后面将看到，只要输入信号的能量相等，第一个步骤（见图 3.1）中的最佳接收滤波器（匹配滤波器）的输出 $z\left( T \right)$ 都是相同的。所以接收信号的能量（ 而不是波形）是信号检测过程最重要的参数，这也是基带信号的检测分析与带通信号的检测分析相同的原因。因为 $z\left( T \right)$ 是与接收码元能量成正比的电压信号，所以 $z\left( T \right)$ 越大，检测过程信号受噪声的影响就越小。在第二个步骤中，通过比较 $z\left( T \right)$ 与所选择门限值的大小做出判决，即比较下式：
$z\left( T \right) \underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}}\gamma$其中， $H_1$ 和 $H_2$ 是两种可能的（ 二进制）假设。该不等式表明，若 $z\left( T \right) > \gamma$，则选择 $H_1$；若 $z\left( T \right) < \gamma$，则选择 $H_1$；若 $z\left( T \right) = \gamma$，可任选其一。选择 $H_1$ 等价于判决 $s_1\left(t\right)$ 为输入波形，发送信息为二进制 1；类似地，选择 $H_2$ 等价于判决 $s_2\left(t\right)$ 为输入波形，发送信息为二进制 0。

1.3 信号和噪声的矢量表示

  本节将给出一种适合基带信号波形和带通信号波形的几何（矢量）表示方法。用 $N$ 个线性独立的函数 $\left\{ \phi _j\left( t \right) \right\}$（称为基函数）构成的空间表示一个 $N$ 维正交空间（orthogonal space），该空间中的任意一个函数都可以由基函数线性表示。基函数必须满足以下条件：
$\int_0^T{\psi _j\left( t \right) \psi _k\left( t \right) \text{d}t}=K_j\delta _{jk};\,\,0\leqslant t\leqslant T;\,\,j,k=1,\cdots ,N$式中的算子 $\delta_{jk}=\begin{cases}\begin{aligned}&1,&j=k\quad\;\;\;\\&0,&\mathrm{otherwise}\end{aligned}\end{cases}$ 称为 $\delta$ 函数。当 $K_j$ 是非零常数时，信号空间是正交的。若标准化基函数使 $K_j=1$，则该信号空间称为标准正交空间。对正交的基本要求是基函数两两不相关，在检测过程中互不干扰。从几何角度看， $\psi_j\left(t\right)$ 垂直于 $\psi_k\left(t\right)$，其中 $j\ne k$。图 3.3 给出了 $N=3$ 正交空间的一个几何示意图，图中的三个互相垂直的坐标轴分别为 $\psi_1\left(t\right)$、 $\psi_2\left(t\right)$ 和 $\psi_3\left(t\right)$。如果 $\psi_j\left(t\right)$ 对应于信号分量的实值电压或电流，假定负载为 $1\,\Omega$，那么运用 $E_{x}^{T}=\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x^2\left( t \right) \text{d}t}$ 和上式可以求得 $T$ 秒内附在负载上消耗的归一化能量（用焦表示）为：
$E_j=\int_0^T{\psi _{j}^{2}\left( t \right) \text{d}t}=K_j$

图3.3 信号波形s_m(t)的矢量表示

  采用正交信号空间的一个重要原因，是在此空间中可以容易地表示出信号的欧几里得距离，而欧氏距离是信号检测的基础。即使信号波形不能构成这样的正交系，也可以表示为一组正交波形的线性组合形式。可以证明，任何一组数目有限、持续时间为 $T$、物理可实现的波形 $\left\{ s_i\left( t \right) \right\} \left( i=1,\cdots ,M \right)$ 都可以用 $N$ 个相互正交的波形 $\psi _1\left( t \right) ,\psi _2\left( t \right) ,\cdots ,\psi _N\left( t \right) \left( N\leqslant M \right)$ 线性表征，即
$s_1\left( t \right) =a_{11}\psi _1\left( t \right) +a_{12}\psi _2\left( t \right) +\cdots +a_{1N}\psi _N\left( t \right) \\ s_2\left( t \right) =a_{21}\psi _1\left( t \right) +a_{22}\psi _2\left( t \right) +\cdots +a_{2N}\psi _N\left( t \right) \\ \vdots \\ s_M\left( t \right) =a_{M1}\psi _1\left( t \right) +a_{M2}\psi _2\left( t \right) +\cdots +a_{MN}\psi _N\left( t \right)$上式可以简化为
$s_i\left( t \right) =\sum_{j=1}^N{a_{ij}\psi _j\left( t \right)};\,\,i=1,\cdots ,M;\,\,N\leqslant M$其中
$a_{ij}=\frac{1}{K_j}\int_0^T{s_i\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t};\,\,i=1,\cdots ,M;\,\,j=1,\cdots ,N;\,\,0\leqslant t\leqslant T$相关系数 $a_{ij}$ 是信号 $s_i\left( t \right)$ 的 $\psi _j\left( t \right)$ 分量值。这里没有指定 $\left\{ \psi _j\left( t \right) \right\}$ 的形状，该波形依赖于信号波形，且应该比较简单。信号波形 $\left\{ s_i\left( t \right) \right\}$ 可以看做一组矢量 $\left\{ s_i \right\} =\left\{ a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{iN} \right\}$。例如，若 $N=3$，可以根据波形：
$s_m\left( t \right) =a_{m1}\psi _1\left( t \right) +a_{m2}\psi _2\left( t \right) +a_{m3}\psi _3\left( t \right)$找出对应矢量 $s_m$ 在三维欧氏空间中的点，其坐标为 $\left( a_{m1},a_{m2},a_{m3} \right)$ 如图 3.3 所示。矢量方向描述了信号间的关系（关于相位和频率），矢量振幅 $\left\{ \mathbf{s}_i \right\}$ 代表一个码元间隔内信号能量的量度。一般地， 一旦确定了 $N$ 个正交基函数，则每个发送信号波形 $s_i\left( t \right)$ 可以由对应矢量：
$\mathbf{s}_i=\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{iN} \right) ,\,\,i=1,\cdots ,M$的系数完全确定。

  现用 $\left\{ \mathbf{s} \right\}$、 $\left\{ s\left( t \right) \right\}$ 分别表示信号矢量、信号波形以简化描述。用信号矢量可以方便地表述检测问题，如图 3.4 所示。矢量 $\mathbf{s}_j$ 和 $\mathbf{s}_k$ 代表 $M$ 波形集 $\left\{ s_i\left( t \right) \right\}$ 的原型或参照矢量。接收机预知 $M$ 信号集的每个参照矢量在信号空间中的位置。由于信号在传输过程中受到噪声干扰，因此接收矢量是发送信号矢量和噪声矢量的合成，即 $\mathbf{s}_j+\mathbf{n}$ 或 $\mathbf{s}_k+\mathbf{n}$，这里， $\mathbf{n}$ 代表噪声矢量。噪声是加性高斯噪声，因此接收信号在信号空间中是以 $\mathbf{s}_j$ 和 $\mathbf{s}_k$ 为中心的云状分布。在点集的中心即靠近参考信号的地方，点的密度较大；远离中心的地方则相对较小。标有“ $\mathbf{r}$”的箭头代表某个码元间隔内到达接收机的信号矢量。接收机的任务可以表述为：判定 $\mathbf{r}$ 是相似于原型 $\mathbf{s}_j$，还是原型 $\mathbf{s}_k$，或是 $M$ 发送信号集中的其他参照信号。判决依据是距离量度，接收机或检测器判断信号空间中哪一个参照信号与接收信号的距离最近。所有解调或检测方案都涉及接收波形与一组可能发送波形之间的距离。检测器遵循的一个简单规则是：将接收信号 $\mathbf{r}$ 判别为离它最近的参照信号。

图3.4 三维矢量空间中的信号和噪声

1.3.1 信号波形的能量

  根据信号能量的表达式、物理可实现波形的正交基表示和基函数满足的正交条件，用信号 $s_i\left( t \right)$ 的各正交分量表示该信号在一个码元间隔 $T$ 内的归一化能量 $E_i$，表示为
$\begin{aligned} E_i&=\int_0^T{s_{i}^{2}\left( t \right) \text{d}t}=\int_0^T{\left[ \sum_j{a_{ij}\psi _j\left( t \right)} \right] ^2\text{d}t}=\int_0^T{\sum_j{a_{ij}\psi _j\left( t \right)}\sum_k{a_{ik}\psi _k\left( t \right)}\text{d}t} \\ &=\sum_j{\sum_k{a_{ij}a_{ik}\int_0^T{\psi _j\left( t \right) \psi _k\left( t \right) \text{d}t}}}=\sum_j{\sum_k{a_{ij}a_{ik}}}K_j\delta _{jk} \\ &=\sum_{j=1}^N{a_{ij}^{2}K_j}, \ \ i=1,\cdots ,M \end{aligned}$上式是 Parseval 定理的一种特殊情况，它建立了 $s_i\left( t \right)$ 平方的积分与该信号各正交分量系数的平方和之间的联系。若基函数是标准正交函数（ 即 $K_j=1$），则 $s_i\left( t \right)$ 在一个码元间隔 $T$上的归一化能量为
$E_i=\sum_{j=1}^N a_{ij}^2\,\,\qquad\qquad$如果每个信号波形 $s_i\left( t \right)$ 的能量 $E$ 都相等， 那么上式可写为
$E_i=\sum_{j=1}^N a_{ij}^2,\,\,对所有i$

1.3.2 广义傅里叶变换

  上述物理可实现波形的正交基表示和基函数满足的正交条件表示的变换是广义傅里叶变换（generalized Fourier transformation）。在通常的傅里叶变换中， $\left\{ \psi _j\left( t \right) \right\}$ 由正弦或余弦谐波函数组成；但在广义傅里叶变换中没有具体限定 $\left\{ \psi _j\left( t \right) \right\}$ 是什么函数，只要满足前述基函数满足的正交条件即可。任何一组可积的信号波形，包括噪声，通过广义傅里叶变换都可以表示为一组正交信号波形的线性组合，所以，对于受高斯白噪声干扰的任意一组信号，都可以将正交空间中的距离（欧氏距离）作为信号检测的判决准则。如何进行正交变换与信号的发送、接收方式密切相关。非正交信号组的传送通常是对正交载波分量进行适当加权完成的。

1.3.3 用正交波形表示白噪声

  与信号相同，加性高斯白噪声（AWGN）可以表示为正交信号波形的线性组合形式。在信号检测时，可以把噪声分成两部分：
$n\left( t \right) =\hat{n}\left( t \right) +\tilde{n}\left( t \right)$其中
$\hat{n}\left( t \right) =\sum_{j=1}^N{n_j\psi _j\left( t \right)}$是信号空间中的噪声表示，或者噪声分量在信号坐标 $\psi _1\left( t \right) ,\psi _2\left( t \right) \cdots ,\psi _N\left( t \right)$ 上的投影。定义
$\tilde{n}\left( t \right)=n\left( t \right) -\hat{n}\left( t \right)$为信号空间外的噪声。换言之，可以将 $\tilde{n}\left( t \right)$ 看做能被检测器有效去除的噪声部分，而 $\hat{n}\left( t \right)$ 表示干扰检测过程的噪声部分。噪声波形 $n\left( t \right)$ 可以表示为
$n\left( t \right) =\sum_{j=1}^N{n_j\psi _j\left( t \right)}+\tilde{n}\left( t \right)$其中
$n_j=\frac{1}{K_j}\int_0^T{n\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t},\,\,\text{对所有}j$ $\qquad\;\int_0^T{\tilde{n}\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t}=0,\,\,\text{对所有}j$因此前述的噪声干扰项 $\hat{n}\left( t \right)$ 可以简化记作 $n\left( t \right)$。此外，可以用系数矢量表示 $n\left( t \right)$：
$\mathbf{n}=\left( n_1,n_2,\cdots ,n_N \right)$ $\mathbf{n}$ 是均值为零的高斯随机矢扯，噪声分量 $n_i\left( i = 1 ,\cdots, N \right)$ 相互独立。
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1.3.4 白噪声的方差

  白噪声是一种理想随机过程，它的双边功率谱密度等于常数 $\dfrac{N_0}{2},-\infty<f<+\infty$。因此噪声方差（等于平均噪声功率，因为噪声均值为零）为
$\sigma ^2=\text{var}\left[ n\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{\infty}{\left( \frac{N_0}{2} \right) \text{d}t}=\infty$  虽然高斯白噪声（AWGN）的方差为无穷大，但经滤波后高斯白噪声的方差是有限的。例如，若 AWGN 与正交函数系中的某一函数相关，则相关器输出信号的方差为
$\sigma ^2=\text{var}\left( n_j \right) =\mathbf{E}\left\{ \left[ \int_0^T{n\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t} \right] ^2 \right\} =\frac{N_0}{2}$因此在随后的检测过程中，假定噪声是相关器或匹配器的输出噪声，方差为 $\sigma ^2=\dfrac{N_0}{2}$，如上式所示。

1.4 数字通信系统中的信噪比参数

  在学习模拟通信以后，我们会很熟悉一个指标，即信号平均功率和噪声平均功率的比值，简称为信噪比（或称为 SNR）。在数字通信系统中，通常用信噪比的归一化形式 $E_b/N_0$ 作为性能指标。 $E_b$ 为每比特能量，等于信号能量 $S$ 与每比特持续时间 $T_b$ 的乘积； $N_0$ 是噪声功率谱密度，等于噪声功率 $N$ 与带宽 $W$ 之比； 又因为每比特持续时间 $T_b$ 与比特速率 $R_b$ 互为倒数，可用 $1/T_b$ 代替 $R_b$，因此有下列表达式成立：
$\frac{E_b}{N_0}=\frac{ST_b}{N/W}=\frac{S/R_b}{N/W}$以 $\text{b/s}$ 为单位的数据速率是数字通信中最常用的指标之一，为简化描述，将比特速率 $R_b$ 简记为 $R$。为强调 $E_b/N_0$ 是 $S/N$ 的归一化带宽和比特率形式，将上式转化为
$\frac{E_b}{N_0}=\frac{S}{N}\left( \frac{W}{R} \right)$数字通信系统性能最重要的度量之一是误码率 $P_B$ 与 $E_b/N_0$。的关系曲线（见图 3.6，若 $E_b/N_0\geqslant x_0$，则 $P_B\leqslant P_0$。无量纲比值 $E_b/N_0$ 是数字通信系统性能的一个标准指标，可以将系统所需的 $E_b/N_0$ 作为比较两个通信系统性能优劣的量度： 在给定差错概率的条件下，所需的 $E_b/N_0$ 越小，检测的准确性就越高。

图3.5 P_B与E_b/N₀的关系曲线

1.5 $E_b/N_0$ 作为度量指标的原因

  初学数字通信的读者可能会怀疑参数 $E_b/N_0$ 的有用性。在模拟通信中， $S/N$ 是一个非常有用的指标，其分子表示期望保持的传输功率大小，分母表示噪声干扰的大小。但为什么在数字通信中要使用与之不同的指标（每比特能撮与噪声功率谱密度之比值）呢？下面就给出对这个问题的解释。

  在《Part 1——信号和频谱》的 2.4 小节中，将功率信号定义为平均功率有限而能量无穷大的信号，而将能量信号定义为平均功率等于零而能量有限的信号。这样的分类在对模拟信号和数字信号做比较时是非常有用的。我们将模拟信号归类为功率信号。这有什么意义呢？通常模拟波形的持续时间为无限长， 不需要做分割或加时间窗。对时域无限的电信号波形而言，其能量为无穷大，因此不能用能量来描述该信号。对模拟信号而言，功率（或能量传输速率）是一个更有用的参数。

  然而，数字通信系统采用时间长度为码元间隔 $T_s$ 的波形来发送和接收码元。每个码元的平均功率（在整个时间轴上取平均）等于零，所以功率不能用于描述数字信号。因此对于数字信号应该采用能在时间窗内度量信号的测度。换言之，码元能量（功率在 $T_s$ 上的积分） 是一个更适于描述数字信号波形的参数。

  接收能量可以很好地描述数字信号，但这还没有说明为什么 $E_b/N_0$ 是数字系统的一个很好的指标。数字波形是代表数字信息的媒介，消息可能包含 1 比特（二进制）、2 比特（四进制）、……、10 比特（1024 进制）等。与这种离散信息结构完全不同，模拟通信系统的信息源是无限量化的连续波。数字系统的衡量指标必须在比特级上比较两个系统的性能。因为数字信号波形只可能包含 1 比特、2 比特、……、10 比特等的信息，所以用 $S/N$ 无法对数字信号进行描述。例如，若给定差错概率，某二进制数字信号所需的 $S/N$ 为 20，注意，数字信号波形与其包含的数字含义等价。因为二进制波形包含 1 比特信息，所以每比特所需的 $S/N$ 是 20。若信号是 1024 进制的，所需的 $S/N$ 仍为 20 。由于该波形包含 10 比特信息，所以每比特所需的 $S/N$ 为 2。由此可见，用 $S/N$ 作为数字系统的指标表示起来十分繁杂，可以采用更适合的参数——比特级别上的能量相关参数 $E_b/N_0$ 来描述这个指标。与 $S/N$ 相同， $E_b/N_0$ 也是一个无量纲比值，下列表达式证明了这点：
$\frac{E_b}{N_0}=\frac{焦\text{耳}}{\text{瓦}/\text{赫兹}}=\frac{\text{瓦}\cdot \text{秒}}{\text{瓦}\cdot \text{秒}}$

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2. 高斯噪声干扰下二进制信号的检测

2.1 最大似然接收机结构

  回顾 1.2 小节给出的图 3.1 中第二个步骤中的判决准则，即
$z\left( T \right) \underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}}\gamma$二进制判决门限 $\gamma$ 的选择是基于最小差错概率准则的。为计算最小差错概率对应的门限值 $\gamma$，首先要建立条件概率密度函数比与先验概率比之间的不等式。因为条件概率密度函数 $p\left(z \mid s_i\right)$ 又称为 $s_i$ 的似然函数，所以不等式：
$\frac{p\left( z \mid s_1\right)}{p\left( z \mid s_2 \right)}\underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}} \frac{P\left( s_2 \right)}{P\left( s_1\right)}$又称为似然比判决准则（likelihood ratio test,）。在该不等式中， $P\left( s_1 \right)$ 和 $P\left( s_2 \right)$ 分别是发送 $s_1\left( t\right)$ 和 $s_2\left( t\right)$ 的先验概率， $H_1$ 和 $H_2$ 是发送信号的两种可能。按照最小差错概率准则，若似然函数之比大于先验概率之比，就判决 $H_1$ 为输入信号。

  如果 $P\left( s_1 \right) = P\left( s_2 \right)$ 并且似然函数 $p\left( z \mid s_i\right) \left( i=1,2\right)$ 是偶对称的，将 1.2 小节中 $p\left( z \mid s_1\right)$ 和 $p\left( z \mid s_2\right)$ 的表达式代入上式可得
$z\left( T \right)\underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}} \frac{a_1+a_2}{2}=\gamma_0$其中， $a_1$ 是发送 $s_1\left( t\right)$ 时 $z\left( T \right)$ 的信号分量， $a_2$ 是发送 $s_2\left( t\right)$ 时 $z\left( T \right)$ 的信号分量。对于这个特殊例子，最小化错误概率的最佳判决门限（optimum threshold） $\gamma_0$ 为 $\dfrac{a_1+a_2}{2}$。这种方法称为最小误差准则（minimum error criterion)。

  对于等概信号，最佳判决门限是两个似然函数交叉点对应的 $z\left( T \right)$ 值，见图 3.2。由上式可知，判决规则实际上就是选择与信号具有“最大相似性”的信号。例如，任意给定检测器的输出 $z_a\left( T \right)$，它属于 $s_1\left( t\right)$ 或 $s_2\left( t\right)$ 分割区域的可能性都不为零。这时可认为可能性检测就是对似然函数值 $p\left( z_a \mid s_1\right)$ 和 $p\left( z_a \mid s_2\right)$ 进行比较， 最有可能的发送信号就是最大概率密度函数所对应的信号。换言之，若
$p\left( z_a \mid s_1\right) > p\left( z_a \mid s_2\right)$则接收机选择 $s_1\left( t\right)$ 作为发送信号， 否则选择 $s_2\left( t\right)$。在先验概率相等条件下的最小差错概率检测器又称为“最大似然检测器” 。

  图 3.2 表明，在已知信号统计特性的情况下，上式是信号检测的常用方法。假设已知检测器输出为 $z_a\left( T \right)$，由图 3.2 有 $z_a\left( T \right)$ 与 $s_1\left( t\right)$ 的似然函数交于 $l_1$，与 $s_2\left( t\right)$ 的似然函数交于 $l_2$。怎样才是最合理的判决呢？在此例中将发送可能性较大的 $s_1\left( t\right)$ 作为判决结果。若是 $M$ 进制波形， 则与 $M$ 个分割区域相对应共有 $M$ 个似然函数。最大似然判决从 $M$ 种可能中选择可能性最大的一个。

2.1.1 差错概率

  在图 3.2 描绘的二进制判决方法中有两种可能发生的错误。一种错误是当发送 $s_1\left( t\right)$ 时，信道噪声使接收机的输出 $z\left( t \right)$ 小于 $\gamma_0$。这种错误发生的概率为
$P\left( e \mid s_1 \right) =P\left( H_2 \mid s_1 \right) =\int_{-\infty}^{\gamma _0}{p\left( z \mid s_1 \right) \text{d}z}$如图 3.2 中 $\gamma_0$ 的左侧阴影部分。同样地，当发送 $s_2\left( t\right)$ 时，若信道噪声使接收机的输出 $z\left( t \right)$ 大于 $\gamma_0$，也将发生判决错误。这种错误发生的概率为
$P\left( e \mid s_2 \right) =P\left( H_1 \mid s_2 \right) =\int_{\gamma _0}^{\infty}{p\left( z \mid s_2 \right) \text{d}z}$错误概率等于某种错误以各种方式发生的概率之和。对与二进制情况，比特误差概率表示为
$P_B=\sum_{i=1}^2{P\left( e,s_i \right)}=\sum_{i=1}^2{P\left( z \mid s_i \right) P\left( s_i \right)}$综合以上三式，有
$P_B=P\left( e \mid s_1 \right) P\left( s_1 \right) +P\left( e \mid s_2 \right) P\left( s_2 \right)$或
$P_B=P\left( H_2 \mid s_1 \right) P\left( s_1 \right) +P\left( H_1 \mid s_2 \right) P\left( s_2 \right)$上面两式表明，若发送 $s_1\left( t\right)$ 而选择 $H_2$，或发送 $s_2\left( t\right)$ 而选择 $H_1$，则产生判决误差。对先验等概情况（ 即 $P\left( s_1 \right) =P\left( s_2 \right) =\dfrac{1}{2}$）有
$P_B=\frac{1}{2}P\left( H_2 \mid s_1 \right) +\frac{1}{2}P\left( H_1 \mid s_2 \right)$又因为条件概率密度函数的对称性，上述表达式可简化为
$P_B=P\left( H_2 \mid s_1 \right) =P\left( H_1 \mid s_2 \right)$误码率 $P_B$ 在数值上等于似然函数（ $p\left( z \mid s_1 \right)$ 或 $p\left( z \mid s_2 \right)$）落在门限值错误一侧下的面积。因此，可以通过计算 $p\left( z \mid s_1 \right)$ 在 $-\infty$ 到 $\gamma_0$的积分，或 $p\left( z \mid s_2 \right)$ 在 $\gamma_0$ 到 $\infty$ 的积分获得 $P_B$：
$P_B=\int_{\gamma _0=\frac{a_1+a_2}{2}}^{\infty}{p\left( z \mid s_2 \right) \text{d}z}$其中 $\gamma _0=\dfrac{a_1+a_2}{2}$是最佳门限值。用 1.2 小节给出的高斯分布表达式代替上式中的 $p\left( z \mid s_2 \right)$，可得
$P_B=\int_{\gamma _0=\frac{a_1+a_2}{2}}^{\infty}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{z-a_2}{\sigma _0} \right) ^2 \right] \text{d}z}$其中， $\sigma^2_0$ 是相关器输出噪声的方差。

  令 $u=\dfrac{z-a_2}{\sigma _0}$，有 $\sigma _0\text{d}u=\text{d}z$，则：
$P_B=\int_{u=\frac{a_1-a_2}{2\sigma _0}}^{u=\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{u^2}{2} \right) \text{d}u}=Q\left( \frac{a_1-a_2}{2\sigma _0} \right)$其中， $Q\left( x \right)$ 称为互补误差函数（complementary error function 或者 co-error function）, 常用于表示落在高斯 pdf 下部的概率，定义为
$Q\left( x \right) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty}{\exp \left( -\frac{u^2}{2} \right) \text{d}u}$注意，互补误差函数的定义有多种方式，但是对于确定由高斯噪声引起的差错概率来说，各种定义方式都是等价的。此外，可以查到一些与 $Q\left( x \right)$ 近似性很好的简单函数。当 $x >3$ 时， $Q\left( x \right)$ 的一个近似函数为
$Q\left( x \right) \approx \frac{1}{x\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)$  前面已经在最小误码率的条件下得到了最佳门限值 $\gamma$，但是图 3.1 中方框 1 的接收滤波器还没进行最优化设计。下面通过对 $Q\left( x \right)$ 的参变量最大化来找出最佳滤波器。

2.2 匹配滤波器

  匹配滤波器指对于给定的码元波形，使得输出信噪比最大的线性滤波器。假定线性时不变（接收）滤波器的输入信号是受加性高斯白噪声（AWGN） $n\left( t \right)$ 干扰的信号 $s\left( t \right)$，其后接一个采样器，如图 3.1 所示。在 $t = T$ 时刻，采样器的输出 $z\left( T \right)$ 包括信号分量 $a_i$ 和噪声分量 $n_0$。输出噪声的方差（噪声平均功率） 记为 $\sigma_0^2$，则 $t = T$ 时刻信号瞬时功率与噪声平均功率之比 $\left(S/N\right)_T$（即步骤 1 中采样器的输出信噪比）为
$\left( \frac{S}{N} \right) _T=\frac{\sigma _{i}^{2}}{\sigma _0}^{2}$现在的目标是找到能使上式值最大的滤波器函数 $H_0\left( f \right)$。用滤波器的传输函数 $H\left( f \right)$（最优化前）和输入信号的傅里叶变换将滤波器输出信号 $a_i\left(t\right)$表示为
$a_i\left( t \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{H\left( f \right) S\left( f \right) e^{j2\pi ft}\text{d}f}$其中， $S\left( f \right)$ 是输入信号 $s\left( t \right)$ 的傅里叶变换。如果输入噪声的双边带功率谱密度为 $N_0/2$ 瓦/ 赫，则可得输出噪声功率为
$\sigma _{0}^{2}=\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}{\left| H\left( f \right) \right|^2\text{d}f}$结合以上三式，得 $\left(S/N\right)_T$ 的表达式为
$\left( \frac{S}{N} \right) _T=\frac{\left| \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{H\left( f \right) S\left( f \right) e^{j2\pi fT}\text{d}f} \right|^2}{\displaystyle\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}{\left| H\left( f \right) \right|^2\text{d}f}}$下面根据许瓦兹（Schwarz）不等式求出使 $\left(S/N\right)_T$ 最大的 $H\left( f \right)$，即为 $H_0\left( f \right)$。许瓦兹不等式的一种表述形式为
$\left| \int_{-\infty}^{\infty}{f_1\left( x \right) f_2\left( x \right) \text{d}f} \right|^2\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}{\left| f_1\left( x \right) \right|^2\text{d}f}\int_{-\infty}^{\infty}{\left| f_2\left( x \right) \right|^2\text{d}f}$当 $f_1\left( x \right) =kf_{2}^{\ast}\left( x \right)$ 时，上述表达式取等号， $k$ 为任意常数， $\ast$ 表示取共辄。令 $f_1\left( x \right)$ 等于 $H\left( f \right)$， $S\left( f \right) e^{j2\pi fT}$ 等于 $f_2\left( x \right)$，则有
$\left| \int_{-\infty}^{\infty}{H\left( f \right) S\left( f \right) e^{j2\pi fT}\text{d}f} \right|^2\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}{\left| H\left( f \right) \right|^2\text{d}f}\int_{-\infty}^{\infty}{\left| S\left( f \right) \right|^2\text{d}f}$将其代入 $\left(S/N\right)_T$ 的表达式，得
$\left( \frac{S}{N} \right) _T\leqslant \frac{2}{N_0}\int_{-\infty}^{\infty}{\left| S\left( f \right) \right|^2\text{d}f}$并有
$\max \left( \frac{S}{N} \right) _T=\frac{2E}{N_0}$其中，输入信号 $s\left( t \right)$ 的能量 $E$ 为
$E=\int_{-\infty}^{\infty}{\left| S\left( f \right) \right|^2\text{d}f}$由此可见， $\left( {S}/{N} \right) _T$ 的最大值取决于输入信号能量和噪声功率谱密度，与波形的具体形状无关。

  当且仅当滤波器的传输函数为最佳传输函数 $H_0\left( f \right)$ 即
$H\left( f \right) =H_0\left( f \right) =kS^{\ast}\left( f \right) e^{-j2\pi fT}$或
$h\left( t \right) =\mathscr{F}^{-1}\left\{ kS^{\ast}\left( f \right) e^{-j2\pi fT} \right\}$时， $\max \left( \dfrac{S}{N} \right) _T=\dfrac{2E}{N_0}$ 的等号才成立。由于 $s\left( t \right)$ 是实信号， 则
$h\left( t\right) = \begin{cases}\begin{aligned} &ks\left( T-t\right),&0\leqslant t\leqslant T\\ &0,&\mathrm{otherwise}\, \end{aligned}\end{cases}$由此可见，匹配滤波器的冲激响应是信号 $s\left( t \right)$ 的镜像信号在时间上再平移一个码元持续时间 $T$。注意，正是有了 $T$ 秒的延迟才使上式表示的滤波器是因果的，即 $T$ 秒的延迟使 $h\left( t\right)$ 在时间间隔 $0\leqslant t \leqslant T$ 内物理可实现。如果没有 $T$ 秒延迟，冲激响应 $s\left( -t \right)$ 是一个非因果函数，因而是物理不可实现的。

2.3 匹配滤波器的相关实现

  上一节最后 $h\left( t\right)$ 的表达式和图 3.6a 说明了匹配滤波器的基本特性：滤波器的冲激响应是信号波形的镜像信号（ 以 $t= 0$ 为轴翻转）的延迟。因此，若信号波形是 $s\left( t \right)$，其镜像信号是 $s\left(- t \right)$，镜像信号延迟 $T$ 秒就是 $s\left(T- t \right)$。因果滤波器（causal filter）的输出 $z\left( t \right)$ 可以表示为接收信号波形和滤波器冲激响应的时域卷积：
$z\left( t \right) =r\left( t \right) \ast h\left( t \right) =\int_0^t{r\left( \tau \right) h\left( t-\tau \right) \text{d}\tau}$将上一节最后 $h\left( t\right)$ 的表达式代入上式中的 $h\left( t-\tau \right)$，并取 $k$ 为 1，得
$\begin{aligned} z\left( t \right) &=\int_0^t{r\left( \tau \right) s\left[ T-\left( t-\tau \right) \right] \text{d}\tau} \\ &=\int_0^t{r\left( \tau \right) s\left( T-t+\tau \right) \text{d}\tau} \end{aligned}$当 $t = T$ 时，上式变为
$z\left( T \right) =\int_0^T{r\left( \tau \right) s\left( \tau \right) \text{d}\tau}$上式称为 $r\left( t \right)$ 和 $s\left( t \right)$ 的相关，即接收信号 $r\left( t \right)$ 和发送波形 $s\left( t \right)$ 复制波形的乘积在一个码元间隔上的积分。采用 $M$ 个相关器， 将接收信号 $r\left( t \right)$ 与每个参照信号 $s_i\left( t \right) \left( i=1,\cdots M \right)$ 进行相关。与 $r\left( t \right)$ 相关后获得最大输出 $z_i\left( T \right)$ 的 $s_i\left( t \right)$，就是与 $r\left( t \right)$ 的匹配程度优于其他 $s_j\left( t \right)\left( j\ne i \right)$ 的信号。因此可以运用相关特性对信号进行最佳检测。

图3.6 相关器与匹配滤波器

2.3.1 卷积与相关的比较

  匹配滤波器（MF）的数学运算是卷积（convolution），即信号与滤波器的冲激响应做卷积运算。相关器的数学运算是相关（correlation），即信号与其自身的复制信号求相关。“匹配滤波器”和“相关器”经常是通用的。既然它们两个的数学运算不同，那么为什么可以通用呢？两个信号的卷积运算需要将其中一个信号做时间翻转，同时，匹配滤波器的冲激响应是根据一个信号的时间翻转来定义的。因而在 MF 中，与一个时间翻转信号的卷积实际上就是将该信号做两次时间翻转。这就使得滤波器的输出（在一个码元持续时间末端的采样）相当于一个信号与其自身的相关。可见图 3.1 中的接收滤波器可以是匹配滤波器也可以是相关器。值得注意的是，相关器和匹配滤波器的输出只在 $t = T$ 时刻是相等的。若输入信号是正弦信号，相关器的输出 $z\left( t \right)$ 在 $0\leqslant t \leqslant T$ 上近似是一条斜线，而匹配滤波器的输出则近似为振幅受斜线调制的正弦信号（ 二者之比较见图 3.6b）。由于对类似的输入信号，在采样点 $t = T$ 处匹配滤波器和相关器的输出相等，所以很多情况下，图 3.7 所示的匹配滤波器和相关器是可以互换的。

图3.7 相关器与匹配滤波器的等价

2.3.2 表示最先发生事件和最后发生事件的两难性

  在表示时间事件时存在着一个重大问题，这个问题导致了电子工程中的一个常见错误：混淆最高有效位和最低有效位。图 3.8a 是时间函数的经典表示，最先发生的事件在最左边，最后发生的事件在最右边，这符合大家阅读图书的顺序。但是还有其他描述时间事件的方式吗？如图 3.8b , 左边是输入到网络（电路）中的脉冲，最先发生的事件在最右边，最后发生的事件在最左边。显然，时间事件的表示要遵循图示的两种方式之一。为避免发生混淆，通常要标注说明性文字（如，最右边的比特是最早输入的比特）。

图3.8 表示最先发生事件和最后发生事件的两难性

  数学关系式可以确定时间事件的表示方式。例如在 2.3 小节，定义匹配滤波器的冲激响应 $h\left( t\right)$ 为时间翻转信号的延时，即 $h\left( t \right) =s\left( T-t \right)$，码元时间 $T$ 的延迟是为了使滤波器是因果的（时间为正时才有输出）。时间翻转相当于“预修正”，这时最右边的时间点对应最先发生的事件。因为卷积运算中又有一次时间翻转，所以到达的信号与滤波器的冲激响应“同步”（最早对应最早，最晚对应最晚）。

2.4 最佳差错性能

  对于 AWGN 信道和图 3.1 所示的接收机，为了最优化（最小化） $P_B$，必须在步骤 1 中选择最佳接收滤波器，在步骤 2 中要选择最佳门限。在 2.1 小节中已经给出了二进制的最佳判决门限，并且已经给出该判决门限对应的 $P_B=Q\left( \dfrac{a_1-a_2}{2\sigma _0} \right)$。为最小化 $P_B$，还需选择使 $Q\left( x \right)$ 参变量最大的滤波器（匹配滤波器）。由此可见，接下来要找出使 $\dfrac{a_1-a_2}{2\sigma _0}$ 最大的线性滤波器，或等价地，最
大化：
$\frac{\left( a_1-a_2 \right) ^2}{\sigma _{0}^{2}}$其中， $\left( a_1-a_2 \right)$是 $t = T$ 时刻期望输出的信号分量之差值，其平方代表差值信号的瞬时功率。在 2.2 小节中已经介绍， 匹配滤波器是对某个已知信号能使输出信噪比达到最大的滤波器。这里将针对二进制信号对该定义做进一步发展：最佳滤波器指能使两个可能输出信号之差别最大的滤波器。在 2.2 小节中，已经证明了匹配滤波器的最大可能输出信噪比等于 $\dfrac{2E}{N_0}$。考虑到滤波器与输入信号差值 $\left[ s_1\left( t \right) -s_2\left( t \right) \right]$ 是相匹配的，所以在 $t= T$ 时刻的输出信噪比为
$\left( \frac{S}{N} \right) _T=\frac{\left( a_1-a_2 \right) ^2}{\sigma _{0}^{2}}=\frac{2E_d}{N_0}$其中， $\dfrac{N_0}{2}$ 是滤波器输入噪声的双边带功率谱密度，而
$E_d=\int_0^T{\left[ s_1\left( t \right) -s_2\left( t \right) ^2 \right] \text{d}t}$是滤波器输入信号差值的能量。注意，上述 $\left( \dfrac{S}{N} \right) _T$ 的表达式并不代表单个传输信号 $s_1\left( t \right)$ 或 $s_2\left( t \right)$ 的信噪比（SNR），它是信号差值的输出信噪比。通过最大化上述 $\left( \dfrac{S}{N} \right) _T$，匹配滤波器能最大化两个输出信号 $a_1$ 和 $a_2$ 的距离（经噪声归一化处理） 。

  联立 2.1 小节中给出的 $P_B=\displaystyle\int_{u=\frac{a_1-a_2}{2\sigma _0}}^{u=\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{u^2}{2} \right) \text{d}u}=Q\left( \frac{a_1-a_2}{2\sigma _0} \right)$ 和上述 $\left( \dfrac{S}{N} \right) _T$ 的表达式，得
$P_B=Q\left( \sqrt{\frac{E_d}{2N_0}} \right)$  对于匹配滤波器，上式是得到滤波器输入差值信号能量表达式的一个重要的中间结果。由该式可知，利用接收信号的比特能量可以导出更一般的关系式。首先定义时间互相关系数 $\rho$ 以衡量信号 $s_1\left( t \right)$ 与 $s_2\left( t \right)$ 的相似性：
$\rho =\frac{1}{E_b}\int_0^T{s_1\left( t \right) s_2\left( t \right) \text{d}t}$并令
$\rho =\cos \theta$其中， $-1\leqslant \rho \leqslant 1$。 $\rho$ 的积分表达式是相关系数的标准表示。但若把 $s_1\left( t \right)$ 和 $s_2\left( t \right)$ 分别看成矢量 $\mathbf{s}_1$ 和 $\mathbf{s}_2$ 时，用 $\rho$ 的正弦表达式表示更简便。这种矢量表示提供了一个非常有用的映射。矢量 $\mathbf{s}_1$ 和 $\mathbf{s}_2$ 的夹角为 $\theta$，若 $\theta$ 较小，表明信号的相似性比较高（即高度相关）；反之，则表明信号的相似性较低。该夹角的余弦与 $\rho$ 的积分表达结果相同，都是相关系数的归一化量度。

  将 $E_d=\displaystyle\int_0^T{\left[ s_1\left( t \right) -s_2\left( t \right) ^2 \right] \text{d}t}$ 展开，有
$E_d=\int_0^T{s_{1}^{2}\left( t \right) \text{d}t}+\int_0^T{s_{2}^{2}\left( t \right) \text{d}t}-2\int_0^T{s_1\left( t \right) s_2\left( t \right) \text{d}t}$上式的前两项都代表比特能量 $E_b$，即
$E_b=\int_0^T{s_{1}^{2}\left( t \right) \text{d}t}=\int_0^T{s_{2}^{2}\left( t \right) \text{d}t}$将 $\rho$ 的积分表达式和 $E_b$ 代入 $E_d$ 的展开式，可得
$E_d=E_b+E_b-2\rho E_b=2E_b\left( 1-\rho \right)$继续将上式代入 $P_B=Q\left( \sqrt{\dfrac{E_d}{2N_0}} \right)$，可得
$P_B=Q\left( \sqrt{\frac{E_b\left( 1-\rho \right)}{N_0}} \right)$  下面分析 $\rho=1$ 的情况，即 $s_1\left( t \right)$ 和 $s_2\left( t \right)$ 在一个码元间隔上完全相关（相应的矢量夹角为零）。这样的波形能传输数字信息吗？显然不能，因为通信信号（符号集元素）要求彼此间尽可能不同以便于区分（检测）。这里只讨论 $\rho$ 的几种取值。当 $\rho=-1$ 时， $s_1\left( t \right)$ 和 $s_2\left( t \right)$ 在一个码元间隔内“反相相关”，也就是信号矢量间的夹角为 $180\degree$。这时的信号矢量是镜像对称的，称对极信号（antipodal），如图 3.9a 所示。当 $\rho=0$ 对， $s_1\left( t \right)$ 和 $s_2\left( t \right)$ 不相关，即矢量夹角为 $90\degree$，称信号是正交的（orthogonal），见[图 3.9b(#图3.9) 。因为两个信号正交，所以在一个码元间隔内它们是不相关的，即
$\int_0^T{s_1\left( t \right) s_2\left( t \right) \text{d}t}=0$在 1.3 小节中已讨论过正交情况。用匹配滤波器检测对极信号（ $\rho=-1$）时， $P_B$ 变为
$P_B=Q\left( \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}} \right)$类似地，用匹配滤波器检测正交信号（即 $\rho=0$）时， $P_B$ 变为
$P_B=Q\left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right)$

图3.9 二进制信号矢量

  图 3.9 中信号大小都等于 $\sqrt{E_b}$，该图表明上述两个 $P_B$ 的表达式表示的差错性能是 $\mathbf{s}_1$ 和 $\mathbf{s}_2$ 之间的距离函数（距离越大， $P_B$ 越小）。图 3.9a 所示的对极信号间的距离是 $2\sqrt{E_b}$，相应的能量 $E_d$ 等于距离的平方，即 $4E_b$。把 $E_d =4E_b$ 代入 $P_B=Q\left( \sqrt{\dfrac{E_d}{2N_0}} \right)$ 得到上述第一个 $P_B$ 的表达式。图 3.9b 所示的正交信号间的距离是 $\sqrt{2E_b}$，这时 $E_d=2E_b$，将 $E_d =2E_b$ 代入 $P_B=Q\left( \sqrt{\dfrac{E_d}{2N_0}} \right)$ 得到上述第二个 $P_B$ 的表达式。

2.5 二进制信号的差错概率性能

2.5.1 单极性信号

  图 3.10a 给出了基带正交信号即单极性信号的一个例子：
$\begin{aligned} &s_1\left( t \right) =A,&0\leqslant t\leqslant T,\quad\text{对二进制}1 \\ &s_2\left( t \right) =0,&0\leqslant t\leqslant T,\quad\text{对二进制}0 \end{aligned}$其中， $A>0$ 是 $s_1\left( t \right)$ 的振幅。若要为正交信号，则要求 $s_1\left( t \right)$ 和 $s_2\left( t \right)$ 在每个码元持续时间上都不相关。在上式中， $s_2\left( t \right)$ 在整个码元持续时间内等于零，所以这对单极性脉冲显然满足不相关条件，构成了一个正交信号组。现采用图 3.10b 的相关器检测图 3.10a 所示的正交信号。相关器先将输入信号与原型信号的差值 $\left[ s_1\left( t \right) -s_2\left( t \right) \right] =A$ 相乘，再取乘积的积分。在一个码元持续时间 $T$ 后，采样相关器的输出获得检测统计量 $z\left( T \right)$，将其与门限 $\gamma_0$ 比较。若接收信号是附加高斯白噪声（AWGN）的 $s_1\left( t \right)$，即 $r\left( t \right) =s_1\left( t \right) +n\left( t \right)$，根据在 2.3 小节 中给出的 $z\left( T \right)$ 的表达式，可得到 $z\left( T \right)$ 的信号分量：
$a_1\left( T \right) =\mathbf{E}\left\{ \left. z\left( t \right) \right|s_1\left( t \right) \right\} =\mathbf{E}\left\{ \int_0^T{\left[ A^2+An\left( t \right) \right] \text{d}t} \right\} =A^2T$其中， $\mathbf{E}\left\{ \left. z\left( t \right) \right|s_1\left( t \right) \right\}$ 是发送 $s_1\left( t \right)$ 时 $z\left( T \right)$ 的数学期望值。上式在 $\mathbf{E}\left\{ n\left( t \right) \right\} =0$ 时成立。类似地，当 $r\left( t \right) =s_2\left( t \right) +n\left( t \right)$ 时，有 $a_2\left( T \right) =0$。此时，根据 2.1 小节中给出的最佳判决门限，可得 $\gamma _0=\dfrac{a_1+a_2}{2}=\dfrac{1}{2}A^2T$。若检测统计量 $z\left( T \right)$ 大于 $\gamma _0$，则判决发送信号为 $s_1\left( t \right)$；否则判为 $s_2\left( t \right)$。

图3.10 单极性基带信号的检测

  进一步可计算出差值信号的能量为 $E_d = A^2T$，输出信号的误码率为
$P_B=Q\left( \sqrt{\frac{E_d}{2N_0}} \right) =Q\left( \sqrt{\frac{A^2T}{2N_0}} \right) =Q\left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right)$对于等概发送信号，每比特的平均能量为 $E_b =\dfrac12A^2T$。上式说明， $P_B=Q\left( \sqrt{\dfrac{E_b}{N_0}} \right)$ 是对正交信号误码率更为一般的表达式。

  注意，图 3.10b 中乘法器的输出单位是伏特，所以对两个输入都是电压信号的情况，乘法器的传输函数单位必须是 $\mathrm{1/V}$，乘法器输出信号 $r\left( t \right) s_i\left( t \right)$ 的度量单位是 $\mathrm{V/V^2}$。同样地，积分器的输出信号单位也是伏特，所以若积分器的输入是电压信号，则积分器的传输函数的单位是 $\mathrm{1/s}$。由此可见，整个乘法-积分器的传输函数的单位是 $\mathrm{1/V\cdot s}$ 。若乘法-积分器的输入信号单位是 $\mathrm{V^2\cdot s}$（能量量纲），输出信号 $z\left( T \right)$ 就是与接收信号的能量( $\mathrm{V/J}$）成正比的电压信号。

2.5.2 双极性信号

  图 3.11a 给出了基带对极信号的例子，双极性信号定义为
$\begin{aligned} &s_1\left( t \right) =+A,&0\leqslant t\leqslant T,\quad\text{对二进制}1 \\ &s_2\left( t \right) =-A,&0\leqslant t\leqslant T,\quad\text{对二进制}0 \end{aligned}$正如前面所定义的，术语“对极”指两个二进制信号互为镜像关系，即 $s_1\left( t \right) =-s_2\left( t \right)$。对极信号的相关接收机见图 3.11b。一个相关器用于求输入信号 $r\left( t \right)$ 与 $s_1\left( t \right)$ 乘积的积分，另一个用于求 $r\left( t \right)$ 与 $s_2\left( t \right)$ 乘积的积分。

图3.11 双极性基带信号的检测

  图 3.11b 给出了数字接收机的主要功能，即在每个码元时间间隔内，将含噪声的输入信号发送到多个通道中，与每个可能的备选信号求相关。二进制有两个备选信号，四进制有 4 个备选信号等。接收机寻找最大输出电压（最好的匹配）以做出判决。图 3.11b 中相关器的输出用 $z_i\left( T \right) \left( i=1,2 \right)$ 表示。由相关器的输出差值构成的检测统计量为：
$z\left( T \right) =z_1\left( T \right) -z_2\left( T \right)$对于对极信号，有 $a_1=-a_2$，所以判决门限 $\gamma_0 = 0$。若 $z\left( T \right)$ 大于零，则判决信号为 $s_1\left( T \right)$，反之则判为 $s_2\left( T \right)$。

  进一步可计算出差值信号的能量为 $E_d = \left( 2A \right)^2T$，输出信号的误码率为
$P_B=Q\left( \sqrt{\frac{E_d}{2N_0}} \right) =Q\left( \sqrt{\frac{2A^2T}{N_0}} \right) =Q\left( \sqrt{\frac{2E_b}{N_0}} \right)$其中，每比特的平均能量为 $E_b =A^2T$。上式说明， $P_B=Q\left( \sqrt{\dfrac{2E_b}{N_0}} \right)$ 是对对极信号误码率更为一般的表达式。

2.5.3 用基函数表述的信号

  本节介绍用 1.3 小节中描述的基函数代替 $s_i\left( t \right)$，作为图 3.11b 中相关器的参考信号。利用单极性或双极性二进制波形进行信号传输时，信号空间只有一个基函数，因此这是用基函数作为参考信号的两个简单例子。如果令 $K_j=1$，即归一化信号空间，那么显然基函数 $\psi_1\left( t \right)$ 必等 $\sqrt{1/T}$。

  对单极性脉冲信号有
$s_1\left( t \right) =a_{11}\psi _1\left( t \right) =A\sqrt{T}\times \left( \frac{1}{\sqrt{T}} \right) =A$及
$s_2\left( t \right) =a_{21}\psi _1\left( t \right) =0\times \left( \frac{1}{\sqrt{T}} \right) =0$式中的系数 $a_{11}$ 和 $a_{21}$ 分别等于 $A\sqrt{T}$ 和 $0$。

  对双极性脉冲信号有
$s_1\left( t \right) =a_{11}\psi _1\left( t \right) =A\sqrt{T}\times \left( \frac{1}{\sqrt{T}} \right) =A$及
$s_2\left( t \right) =a_{21}\psi _1\left( t \right) =-A\sqrt{T}\times \left( \frac{1}{\sqrt{T}} \right) =-A$式中的系数 $a_{11}$ 和 $a_{21}$ 分别等于 $A\sqrt{T}$ 和 $-A\sqrt{T}$。对于对极信号，假定采用图 3.11b 形式的相关接收机，参考信号取 $\sqrt{1/T}$。若发送信号是 $s_1\left( t \right) =A$ 时，则下式：
$a_1\left( T \right) =\mathbf{E}\left\{ \left. z\left( T \right) \right|s_1\left( t \right) \right\} =\mathbf{E}\left\{ \int_0^T{\left[ \frac{A}{\sqrt{T}}+\frac{n\left( t \right)}{\sqrt{T}} \right]}\text{d}t \right\} =A\sqrt{T}$成立，因为 $\mathbf{E}\left\{ n\left( t \right) \right\}$。又因为对极信号有 $E_b = A^2T$，所以 $a_1\left( T \right) =\sqrt{E_b}$ 。同样地，若接收信号 $r\left( t \right) =s_2\left( t \right) +n\left( t \right)$， $a_2\left( T \right) =-\sqrt{E_b}$。此时， $z\left( T \right)$ 的数学期望值为 $\sqrt{E_b}$，是与接收能釐成正比的归一化电压。由相关器的这种基函数处理方法得到的 $z\left( T \right)$ 与相乘器、积分器的输出电压是一致的。值得再次强调的是，在采样器的输出点（检波前），检测统计量 $z\left( T \right)$ 是与接收信号能量成正比的电压信号。

  图 3.12 描绘了单极性信号和双极性信号 $P_B$ 与 $E_b/N_0$ 的关系曲线。比较这两条曲线性能优劣的方法只有两种。在某个给定的 $E_b/N_0$，比如 $10\text{ dB}$，作一条垂线，可得单极性信号的 $P_B =10^{-3}$，双极性信号的 $P_B =10^{-5}$，可见下边曲线的误差性能较好。同样，在某个给定的 $P_B$，比如 $10^{-5}$，作一条水平线，可得每比特单极性信号所需的 $E_b/N_0$ 为 $12.5\text{ dB}$，而每比特双极性信号只需 $9.5\text{ dB}$。当然所需的 $E_b/N_0$ 越小越好（只使用较少的能量和电池）。一般地，接近坐标轴， 即靠下、靠左的曲线对应的性能较好。考察图 3.12 所示的两条曲线， 可知与单极性信号相比，双极性信号的差错性能有 $3\text{ dB}$ 的改善。事实上，比较单极性信号和双极性信号的 $P_B$ 表达式 $E_b/N_0$ 系数的 2 倍差别就巳经预示了这里会有 $3\text{ dB}$ 的差别。在 Part 4 中将证明，用匹配滤波器（MF）检测信号时，带通对极信号（即二进制相移键控）的误差性能和基带对极信号（ 即双极性脉冲）的误差性能相同；同样地，带通正交信号（即正交频移键控信号）的误差性能和基带正交信号（即单极性脉冲）的误差性能相同。

图3.12 单极性和双极性信号的比特误差性能

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3. 码间串扰

图3.13 检测过程中的码间串扰

  图 3.13a 描述了典型数字通信系统的滤波问题。整个系统（发送机、接收机和信道）中有各种类型的滤波器（以及惰性电路元件，如电感和电容）。在发送端，将脉冲或电平形式的消息符号进行调制，经滤波后变成符合带宽要求的脉冲。对于基带系统，信道（电缆）中存在的分布电抗使脉冲信号发生失真。一些带通系统（如无线系统）通常是衰落信道，这类信道相当于不期望的滤波器致使信号发生失真。为了补偿发射机和信道引起的失真，接收滤波器通常是均衡滤波器（equalizing filter）或接收/均衡褪波器（receiving/equalizing filter）。图 3.13b 给出了这类系统的一个简单模型，它将所有的滤波作用等效为一个系统传输函数：
$H\left( f \right) =H_t\left( f \right) H_c\left( f \right) H_r\left( f \right)$其中， $H_t\left( f \right)$ 表示发送滤波器， $H_c\left( f \right)$ 表示信道内的滤波器， $H_r\left( f \right)$ 表示接收/均衡滤波器。 $H\left( f \right)$ 代表整个系统的传输函数，综合了发射机、信道和接收机链路中所有的滤波作用。在一个二进制 PCM 通信系统中（如 NRZ-L），检测器根据接收信号的采样与门限值的比较做出判决。例如图 3.13 中的检测器，若接收信号大于零，则判决发送比特为 1；若小于零，则判决发送比特为 0。由于系统的滤波作用，接收脉冲之间会发生交迭，如图 3.13b。脉冲出现拖尾占据了相邻码元间隔，从而干扰了信号检测过程，进而造成误差性能的降低，这类干扰称为码间串扰（ISI）。即便没有噪声，滤波和信道引起的失真也会导致码间串扰。在某些情况下， $H_c\left( f \right)$ 是固定的，问题就变为如何确定 $H_t\left( f \right)$ 和 $H_r\left( f \right)$，从而使 $H_r\left( f \right)$ 的输出信号获得最小的码间串扰。

  奈奎斯特研究了接收端不产生码间串扰的接收脉冲形状间题。他证明：要使码元速率为 $R_s\text{码元/s}$ 的信号不存在码间串扰，理论上所需的最小系统带宽为 $R_s/2\text{ Hz}$。最小系统带宽成立的条件是，系统传输函数 $H\left( f \right)$ 是如图 3.14a 所示的矩形函数。对于基带系统， $H\left( f \right)$ 是单边带宽为 $1/2T$ 的矩形函数（理想奈奎斯特滤波器）时，系统的冲激响应即 $H\left( f \right)$ 的傅里叶逆变换为 $h\left( t \right) =\text{sinc}\left( t/T \right)$，如图 3.16b。 $\text{sinc}\left( t/T \right)$ 称为理想奈奎斯特脉冲，它的多重波瓣包括一个主瓣和多个旁瓣，旁瓣又称为主瓣的前后尾随脉冲，向两边无限延伸。奈奎斯特证明，若接收序列的每个脉冲都是 $\text{sinc}\left( t/T \right)$ 形状， 则脉冲序列的检测不受码间串扰的影响。图 3.16b 说明了避免码间串扰的原因。图中有两个相邻脉冲 $h\left( t \right)$ 和 $h\left( T-t \right)$， $h\left( t \right)$ 具有很长的尾随脉冲，但在 $h\left( T-t \right)$ 的采样点即 $t= T$ 时刻 $h\left( t \right)=0$，同样地，在脉冲 $h\left( t-kT \right) \left( k=\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ 的采样时刻 $h\left( t \right)$ 的所有旁瓣取值都为零。由此可知，若采样时刻准确就不存在码间串扰。对于基带系统，无码间串扰地检测码元速率为 $1/T$ 的脉冲（码元）所需带宽为 $1/2T$；换言之，带宽 $W = 1/2T = R_s/2\text{ Hz}$ 的系统在保证无码间串扰的条件下能够支持的最大传输速率为 $2W = 1/T=R_s\text{码元/s}$ (奈奎斯特带宽限制）。由此可见，理想奈奎斯特滤波系统（保证无码间串扰）每赫兹的最大可能传输速率（称之为码速压缩）为 $2\text{ 码元/s/Hz}$。理想奈奎斯特滤波器的传输函数形状为矩形，其相应的冲激响应为无限长，显然该滤波器是不可实现的，只能近似实现。

图3.14 无码间串扰的奈奎斯特信道

  “奈奎斯特滤波器”和“奈奎斯特脉冲”经常用于描述在采样点无码间串扰的典型滤波器和脉冲。奈奎斯特滤波器的频率传输函数可以表示为矩形函数和任意一个实偶对称频率函数的卷积； 奈奎斯特脉冲可以表示为 $\text{sinc}\left( t/T \right)$ 函数与另一个时间函数的乘积。因此，奈奎斯特滤波器以及相应的奈奎斯特脉冲为无穷多个，其中，常用的是下面将介绍的升余弦型和平方根升余弦型。

  通信系统的一个基本参数是频带利用率 $R/W$，其单位是 $\text{b/s/Hz}$。由其单位可知， $R/W$ 是单位带宽通过的数据量的量度，由此可以衡量一种信号传输技术对带宽资源的利用率。奈奎斯特带限定理表明，理论上，没有码间串扰的最大码速压缩为 $2\text{ 码元/s/Hz}$；那么，该定理有没有说明 $\text{b/s/Hz}$ 的最大值呢？答案是没有直接说明。该带限定理只与脉冲或码元有关，表明了系统无失真检测信号振幅的能力。为获得任何信号传输形式的频带利用率 $R/W$，首先要知道一个码元包含的比特数。分析 $M$ 进制 PAM 信号，每个码元（包括 $k$ 比特）用 $M$ 个电平之一表示。若每个码元的比特数为 $k=6$，则符号集包含 $M = 2^k = 64$ 个电平。由此可见，对于 $64$ 进制 PAM，理论上，无码间串扰时的最大带宽利用率为 $12 \text{ b/s/Hz}$。

3.1 降低码间串扰的脉冲整形

3.1.1 目标和权衡

  信号的频谱越窄，允许的数据速率就越高，同时接受服务的用户数也越多。这对通信服务提供商具有非常重大的意义，因为可用带宽的利用率越高收益就会越多。大部分的通信系统（扩频系统除外）的目标是尽可能地减少系统所需带宽。奈奎斯特给出了降低系统带宽的极限。如果系统带宽小于奈奎斯特最小带宽会出现什么情况呢？脉冲的时域范围会扩展，产生的码间串扰会降低系统的误差性能。因此合理的目标是，压缩数据脉冲使之具有比奈奎斯特最小带宽稍大的带宽。这可以用奈奎斯特滤波器进行脉冲成形来实现。如果滤波器的频带边缘比较陡峭，接近图 3.14a 中的矩形，则信号频谱达到最窄。但是，这种滤波器冲激响应的待续时间接近无穷大（如图 3.14b)，整个序列的脉冲相互交迭。时域宽的冲激响应，对应在频域中的特性是每一个主瓣附近都有大振幅的旁瓣。这些旁瓣是不受欢迎的，因为由图 3.14b 可知，只有在正确的采样时刻采样才不存在码间串扰； 当旁瓣电平很大时，很小的采样定时偏差就会导致码间串扰。所以，虽然窄带频谱信号能够提供最佳的带宽利用率，但是它对定时误差引起的码间串扰非常敏感。

3.1.2 升余弦滤波器

  前面已提过，当接收滤波器可以同时补偿发射机和信道所产生的失真时，就称其为均衡滤波器。换言之，可选择这类滤波器的结构以优化合成系统的频率传输函数 $H\left( f \right) =H_t\left( f \right) H_c\left( f \right) H_r\left( f \right)$。常用的奈奎斯特类型（在采样时刻无码间串扰）传输函数 $H\left( f \right)$ 是升余弦滤波器，其表达式为
$H\left( f \right) =\begin{cases}\begin{aligned} &1,&&\left| f \right|<2W_0-W\\ &\cos ^2\left( \frac{\pi}{4}\frac{\left| f \right|+W-2W_0}{W-W_0} \right),&&2W_0-W<\left| f \right|<W\\ &0,&&\left| f \right|>W\\ \end{aligned}\end{cases}$其中， $W$ 是绝对带宽， $W_0=1/2T$ 代表矩形频谱对应的最小奈奎斯特带宽和升余弦频谱的 $-6\text{ dB}$ 带宽（或半振幅点）。差值 $W-W_0$ 称为“超量带宽”，意思是超出最小奈奎斯特带宽的带宽部分（即对矩形频谱 $W=W_0$）。滚降系数定义为 $r =\dfrac{W-W_0}{W_0}$，即超量带宽与 $-6\text{ dB}$ 带宽的比值（亦即相对超量带宽），其中 $0\leqslant r \leqslant 1$。对于给定的 $W_0$，滚降系数 $r$ 说明了相对于的超量带宽以及滤波器滚降的陡度。图 3.15a 给出了滚降系数为 $r=0$、 $r=0.5$ 和 $r= 1$ 时升余弦函数的特性曲线。 $r= 0$ 就是奈奎斯特最小带宽的情况。注意，当 $r= 1$ 时，相对超量带宽是 $100 \%$，旁瓣很小。具有这种频谱特性且带宽为 $R_s\text{ Hz}$（最小奈奎斯特带宽的两倍）的系统能够支待的最大码元速率为 $R_s\text{ 码元/s}$，即码速压缩为 $1\text{ 码元/s/Hz}$。上述传输函数对应的冲激响应为
$h\left( t \right) =2W_0\left( \text{sinc}\,2W_0t \right) \frac{\cos \left[ 2\pi \left( W-W_0 \right) t \right]}{1-\left[ 4\left( W-W_0 \right) t \right] ^2}$图 3.15b 给出了 $r=0$、 $r=0.5$ 和 $r= 1$ 的相应曲线图。无论滚降系数为何值，在每个脉冲的采样时刻其他脉冲的尾随值都等于零。

图3.15 升余弦滤波器的特性

  实际上只能近似实现上述 $H\left( f\right)$ 表示的的滤波器和 $h\left( t\right)$ 表述的脉冲，因为严格地讲，升余弦频谱不是物理可实现的（原因同理想奈奎斯特滤波器一样）。一个物理上可实现的滤波器必须是有限冲激响应，而且对某时刻输入脉冲的响应不能先于该时刻（见《Part 1——信号和频谱》的 7.2 小节），这是升余弦特性的滤波器系列所不具备的。这些不可实现的滤波器都是非因果的（noncausal），即滤波器从 $t= - \infty$ 时开始输出信号。波形滤波器应满足的两个条件为： 一、具有期望的滚降值， 二、物理可实现（即冲激响应为有限长）。

  码元速率为 $R_s\text{ 码元/s}$ 的传输系统的奈奎斯特带宽极限，即在无码间串扰条件下的最小系统带宽为 $W =R_s/2\text{ Hz}$。由于滚降系数的存在，所需带宽和码元传输速率的更一般关系式为
$W=\frac{1}{2}\left( 1+r \right) R_s$ $r=0$ 时，上式是理想奈奎斯特滤波器的最小带宽； $r>0$ 时，带宽超过奈奎斯特最小带宽，这时 $R_s$ 就小于 2 倍带宽，如果解调器在每个码元间隔内仅做一次采样，那么就会因为采样点太少而不能可靠恢复模拟波形（产生失真），这与奈奎斯特采样定理相背离。然而，数字通信系统不需要恢复模拟波形。由于升余弦系列滤波器在采样时刻的无码间串扰特性，因此仍可以获得无失真检测。

  带通调制信号，例如幅移键控（ASK）和相移键控（PSK），需要的传输带宽是相应基带信号的 2 倍（见《Part 1——信号和频谱》的 7.1 小节） 。将频率搬移信号的占用带宽是相应基带信号 2 倍的信号称为双边带信号（DSB）。因此，对于 ASK 和 PSK 调制信号，所需的双边带带宽 $W_{\text{DSB}}$ 和码元传输速率 $R_s$ 的关系为
$W_{\text{DSB}}=\left( 1+r \right) R_s$前面已介绍，升余弦频率传输函数描述的是合成传输函数 $H\left( f \right)$，即从发送端（以冲激形式）开始，经信道到接收滤波器的整个传输函数。接收端的滤波是整个传输函数的补偿部分，它使整体传输函数成为一个能以无码间串扰检测信号的传输函数，如升余弦函数。通常将接收滤波器和发送滤波器设计（匹配）为平方根升余弦函数（升余弦函数的平方根）。不考虑由于信道引起的码间串扰，两个平方根升余弦函数相乘就得到升余弦形式的合成系统传输函数。当引入一个分立的均衡滤波器以消除信道引起的码间串扰时，接收和均衡滤波器要设计为可以同时补偿发射机和信道引起的失真，这样才能使整个滤波器的传输函数具有无码间串扰特性。

  下面讨论在设计波形滤波器时要考虑的权衡问题。滚降系数越大，尾随脉冲就越短（这意味着旁瓣电平幅度小） 。旁瓣幅度小使得输出信号对定时误差的敏感度较小，因而码间串扰对信号检测的影响就小。观察图 3.15b， $r= 1$ 时定时误差仍然可能导致码间串扰，引起检测性能的下降。然而，问题已不如 $r= 0$ 时严重，这是因为 $r = 1$ 时 $h\left( t \right)$ 的旁瓣电平小于 $r= 0$ 时的旁瓣电平。从另一方面考虑，滤波器的滚降系数越小则超量带宽就越小，这允许我们提高信号传输速率并且增加同时使用系统的用户数，其代价是尾随脉冲长，旁瓣电平大，因此对定时误差的敏感度就高。

3.2 差错性能劣化的两种类型

  数字通信系统中差错性能的降低有两种情况。第一种，由于接收信号能量的降低或者噪声（干扰信号）能量的增加导致信噪比 $E_b/N_0$ 的减小，从而使得系统性能下降；第二种归因于信号失真，例如由码间串扰引起的失真。下面讨论这两种情况的差别。

  假定需要设计的通信系统，其误比特率（误码率）与 $E_b/N_0$ 的关系曲线是图 3.16a 中的实线。假设已构造好系统，测试系统性能可以发现误比特率与 $E_b/N_0$ 的关系曲线并不是理论曲线，而是图中的虚线。由于信号减损和噪声（干扰）电平的提高，造成信噪比 $E_b/N_0$ 的减损。假定期望误比特率为 $10^{-5}$，那么理论上所需的 $E_b/N_0$ 为 $10\text{ dB}$。误比特率相同的情况下，由于系统性能的下降所需的 $E_b/N_0$ 升至 $12\text{ dB}$（由图中虚线可知）。若无法解决减损问题，为达到相同的误比特率需要多提供 $2\text{ dB}$ 的 $E_b/N_0$。这是一个很严重的问题，特别在系统是功率限制时，多提供 $2\text{ dB}$ 的信噪比是很困难的。然而，与信号失真引起的性能下降相比，信噪比的降低还不算十分可怕。

图3.16 误差性能劣化的两种类型

  仍假定系统不满足实线所示的期望性能，如图 3.16b 所示。此时不是简单的信噪比减损， 而是存在由码间串扰引起的系统性能下降（如图中虚线所示）。若无法解决这个问题，为了达到期望的误比特率，又要多提供多少信噪比呢？答案是无穷大，也就是说没有办法实现。当曲线达到不能再减小的 $P_B$ 点时（假定最低点高于系统要求的 $P_B$），增大信噪比也不能改善差错性能。毫无疑问，每条 $P_B$ 与 $E_b/N_0$ 关系曲线的最低点可以落在任何地方，该点若在考虑的区域之下就不会造成什么影响。

  增大信噪比不能解决码间串扰问题（若 $P_B$ 曲线达到了最低点，增大信噪比不能解决问题）。观察图 3.13b 中的交叠脉冲可以推断出这个结论：若增大 $E_b/N_0$，交叠脉冲的比例不会减小，波形的失真程度相同。那么如何解决码间串扰问题呢？通常是采用均衡（见第 4 节）。既然码间串扰是发送机和信道的滤波作用引起的，那么可以将均衡看做非最佳滤波的逆过程。

3.3 整形脉冲的解调/检测

3.3.1 匹配滤波器和一般滤波器的对比

  一般滤波器的作用是滤除接收信号中不需要的频谱分量，同时要保持所需的频谱范围内（称为通带， pass-band）信号的保真度。这类滤波器的传输函数特性是：在通带内有近似均匀的增益且保持线性的相-频特性；在其他频谱范围内（即阻带， stop-band）频谱分量尽量衰减到最小。但设计匹配滤波器的目标不是这些，而是在存在高斯白噪声的条件下使已知信号的信噪比最大。一般滤波器适用于用带宽定义的任何信号，而匹配滤波器则适用千具有任意参数（如振幅、到达时间）的已知信号，可以看做与信号的已知形状匹配的模板。一般滤波器的目标是尽量保待有用信号的时域或频域结构，而匹配滤波器则通过集中与之相匹配的信号能量来改变信号的时间结构，并在输出码元的末端获得振幅的最大值。一般地，数字通信系统的接收机同时包含这两类滤波器。一般滤波器的作用是分离和提取高保真的估计信号作为匹配滤波器的输入。匹配滤波器集中接收信号的能量，对其输出信号进行采样（在 $t = T$ 时刻），就可以得到一个与能量成正比的电压信号，然后对该电压信号做检测处理。

3.3.2 奈奎斯特脉冲及其平方根脉冲

  比较发射机输入端的数据冲激序列和升余弦匹配滤波器的输出脉冲序列（采样前）。如图 3.17 所示，用 $\tau _0,\tau _1,\cdots$ 时刻的冲激信号表示发送数据。滤波作用扩展了输入信号的时域范围，并产生时间延迟，用符号如 $t_0,t_1,\cdots$ 表示接收时刻。 $\tau_0$ 时刻发送的冲激信号在 $t_0$ 时刻（输出信号的起始时刻）到达接收机。解调信号的前尾随脉冲称为“前驱信号”。对一个参考时间确定的实际系统，因果性表 $t_0\geqslant \tau_0$， $\tau_0$ 和 $t_0$ 的时间差表示系统的传输延迟。在该例中，从解调脉冲的起始时刻到主瓣（最大振幅点）的持续时间为 $3T$（3 倍脉冲持续时间）。输出脉冲序列中的每个脉冲相互交迭，影响前三个和后三个脉冲的主瓣。当脉冲经过滤波整形后其占用时间超过—个码元间隔时，将脉冲持续时间所占的码元间隔数称为脉冲维持时间。图 3.17 中码元维持时间包括 6 个码元间隔（7 个数据点之间有 6 个间隔）。

图3.17 冲激序列滤波：输入与输出

  平方根升余弦滤波器的冲激响应叫做平方根奈奎斯特脉冲，如图 3.18a（归一化最大值，滚降系数 $r = 0.5$）所示。升余弦滤波器的冲激响应叫做奈奎斯特脉冲，如图 3.18b（归一化，滚降系数相同）所示。这两个脉冲的形状很相似，但平方根奈奎斯特脉冲变化较快，所以其频谱（平方根升余弦函数）比奈奎斯特脉冲的频谱（升余弦函数）衰减得慢； 另一个微小却很重要的区别是，平方根奈奎斯特脉冲序列存在码间串扰，这一点可由图 3.18a 得到证实（在采样时刻旁瓣电平不为零）。但如果发送滤波器和接收滤波器都是平方根升余弦滤波器，那么整个系统的输出信号之间不存在码间串扰。

图3.18a 平方根奈奎斯特脉冲

图3.18b 奈奎斯特脉冲

  观察发送滤波器输出端的平方根奈奎斯特脉冲，和经平方根升余弦匹配滤波器解调后的波形。图 3.19a 描绘了一个四进制系统发送信息序列 $\left\{+1\ +1\ -1\ +3\ +1\ +3\right\}$ 的例子，元素集为 $\left\{\pm1,\pm3\right\}$ 。分析四进制 PAM 调制，发送滤波器（波形发生器）是滚降系数等于 0.5 的平方根升余弦滤波器。图中的模拟波形是发射机的输出信号。因为任何一个滤波器都会有时间延迟，所以为了使输入信息序列与输出波形（平方根奈奎斯特脉冲序列）在时间上相对应，在图 3.19a 中已将输入的信息码元（近似冲激信号）作了相同的时间延迟。当然，传输（调制）到载波上的是输出的模拟波形。图 3.19b 表明，具有相同时延的采样信息，与平方根升余弦匹配滤波器（产生升余弦奈奎斯特脉冲序列）的输出信号一起，构成了整个系统的升余弦传输函数。下面做一个简单测试来确定滤波器的输出（假设没有噪声）是否存在码间串扰。在滤波器的输出波形中，只需要在初始输入样本点对应的时刻进行采样。若采样值等于初始信息值，则说明滤波器的输出信号在采样时刻不存在码间串扰。比较图 3.19a 和图 3.19b 的码间串扰问题，很明显图 3.19a 所示的平方根奈奎斯特波形（发送滤波器的输出）的采样值不等于初始样本值；而图 3.19b 所示的奈奎斯特波形（匹配滤波器的输出）的采样值等于初始样本值。这就证明了奈奎斯特滤波器的输出信号在采样点无码间串扰，而其他滤波器则不能实现。

图3.19a M 进制平方根奈奎斯特波形和延时的输入样本值

图3.19b 升余弦匹配滤波器的输出和延时的输入样本值

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4. 均衡

4.1 信道特性

  许多通信信道（ 如电话、无线信道）的传输特性相当于冲激响应为 $h_c\left( t \right)$ 的带限线性滤波器，其频率响应为
$H_c\left( f \right) =\left| H_c\left( f \right) \right|e^{j\theta _c\left( f \right)}$其中 $H_c\left( f \right)$ 和 $h_c\left( t \right)$ 是傅里叶变换对， $\left| H_c\left( f \right) \right|$ 是信道的幅频响应， $\theta _c\left( f \right)$ 是相频响应。在《Part 1——信号和频谱》的 6.3 小节中已证明，要实现信道的理想（无失真）传输，必须满足在信号带宽 $W$ 范围内 $\left| H_c\left( f \right) \right|$ 是常数， $\theta _c\left( f \right)$ 是频率的线性函数（即对信号的所有频率分量，时间延迟为常数）。如果在 $W$ 范围内 $\left| H_c\left( f \right) \right|$ 不是常数，则会引起振幅失真；如果 $\theta _c\left( f \right)$ 在 $W$ 范围内不是频率的线性函数，则会引起相位失真。许多信道（如衰落信道），振幅和相位失真通常会同时存在。在传输脉冲序列时，这种失真表现为信号弥散或拖尾，因此解调序列中的波形有明显的形变。波形重叠或拖尾称为码间串扰，它存在于大部分调制系统中，是在有带宽限制的信道中实现可靠高速传输的主要障碍之一。从广义上讲，“均衡”指所有消除或减少码间串扰的信号处理或滤波技术。

  均衡可以分为两大类，如图 2.1 所示。第一类是最大似然序列估计（MLSE），需要获得对 $h_c\left( t \right)$ 的估计，调整接收机使之适应传输环境。这种调整的目的是使检测器根据已失真的解调脉冲序列做出更好的估计。采用 MLSE 接收机，并不是对失真采样进行重新整形或其他的直接补偿，而是调整其本身以更好地处理失真波形。这种方法的一个例子就是后面将会介绍的维特比均衡。第二类是均衡滤波器，即用滤波器补偿信号失真。在这类均衡器中，解调样值序列经均衡器消除码间串扰（ISI）后输入检测器。

  本节将介绍比较常用的均衡滤波器，这类均衡器还有进一步的划分。一种划分方法是根据滤波器的结构，可分为只含前馈单元的线性系统（横向均衡器，transversal equalizer）和既有前馈单元又有反馈单元的非线性系统（判决反馈均衡器， decision feedback equalizer）；也可以根据它们的自适应性分为预置式和自适应式；还可根据滤波器的分辨率和更新速率进行分类。被检测信号可以是码元边界的采样值（即每个码元只采样一次），这种采样称为按码元间隔（symbol spaced）采样；也可以对每个码元做多次采样，这种采样称为按部分码元间隔（fractionally spaced）采样。

  用分离的接收滤波器 $H_r\left( f \right)$ 和均衡器 $H_e\left( f \right)$ 代替 $H\left( f \right) =H_t\left( f \right) H_c\left( f \right) H_r\left( f \right)$ 中的接收/均衡滤波器，整个系统的传输函数 $H\left( f \right)$ 是升余弦函数，记为 $H_{\text{RC}}\left( f \right)$，于是有
$H_{\text{RC}}\left( f \right) =H_t\left( f \right) H_c\left( f \right) H_r\left( f \right) H_e\left( f \right)$  在实际系统中，不可能充分已知信道的频率传输函数 $H_c\left( f \right)$ 及其冲激响应 $h_c\left( t\right)$，因而设计不出在任意时刻都无码间串扰的接收机。通常选择相匹配的发送滤波器和接收滤波器，使它们满足下列表达式：
$H_{\text{RC}}\left( f \right) =H_t\left( f \right) H_r\left( f \right)$这样， $H_t\left( f \right)$ 和 $H_r\left( f \right)$ 的频率传输函数都是升余弦函数的平方根（平方根升余弦函数）。用于补偿信道失真的均衡器的传输函数就是信道传输函数的倒数：
$H_e\left( f \right) =\frac{1}{H_c\left( f \right)}=\frac{1}{\left| H_c\left( f \right) \right|}e^{-j\theta _c\left( f \right)}$  有时会根据需要特意选择在采样点存在码间串扰的频率传输函数（如高斯滤波器传输函数），其目的是提高带宽利用率（与采用升余弦滤波器相比）。此时均衡滤波器的任务不只是补偿信道，还要补偿发送滤波器和接收滤波器引起的码间串扰。

4.2 眼图

  眼图（eye pattern）用于说明系统对基带信号的响应结果。示波器的垂直极板连接接收机对一个任意随机脉冲序列的响应，水平极板连接一个频率为信号频率的锯齿波。换言之，设置示波器的水平扫描周期为码元周期，这时，每个码元将重叠到间隔 $\left( 0,T \right)$ 上。图 3.20 是二进制对极信号（双极性脉冲）的眼图。因为一个任意信号源产生的信号有时为正有时为负，并且阴极射线管的余辉使得显示图形类似于眼睛。“眼睛”张开的宽度表示可采样的时间范围，显然，最佳采样时刻应是“眼睛”张开最大的时刻，此时受噪声干扰最小。如果系统中没有滤波器，即假设数据脉冲的传输带宽为无穷大，则得到的系统响应为理想矩形脉冲，这时显示的图形更像一个盒子。图 3.20 中振幅模糊范围 $D_A$ 表示由于码间串扰引起的失真，过零点时间差 $J_T$ 表示定时抖动程度， $M_N$ 表示噪声容限， $S_r$ 表示定时误差的灵敏度。眼图的最常见用途是定性地估计码间串扰的程度。当“眼睛”闭合时，码间串扰增加；“眼睛”睁开时，码间串扰减少。

图3.20 眼图

4.3 均衡滤波器的类型

4.3.1 横向滤波器

  用于均衡的训练序列是一个频谱分量比较“丰富”、类似噪声的序列，这对估计信道的频率响应是非常必要的。最简单的例子， 训练包括发送一个窄脉冲（近似理想冲激）然后获取关于信道的冲激响应的知识。实际中更常用的训练序列是伪噪声（PN）信号，因为伪噪声信号的平均功率比较大，并且在发送功率峰值相同的条件下可以获得较大的 SNR 。为了描述横向滤波器，现分析将一个单脉冲输入到传输函数为 $H_{\text{RC}}\left( f \right) =H_t\left( f \right) H_r\left( f \right)$ 的升余弦函数系统时的情况。假设信道会产生码间串扰， 则接收的解调脉冲会发生失真（如图 3.21），即脉冲主瓣附近的旁瓣在采样时刻不为零。这种失真相当于在主瓣前后发生了正的或负的反射波。当均衡滤波器的频率响应 $H_e\left( f \right)$ 满足 $H_e\left( f \right) =\displaystyle\frac{1}{H_c\left( f \right)}=\frac{1}{\left| H_c\left( f \right) \right|}e^{-j\theta _c\left( f \right)}$ 时，系统的传输函数才是升余弦函数，这样实际信道响应与 $H_e\left( f \right)$ 相乘得到 $H_{\text{RC}}\left( f \right)$。换言之，就是采用均衡滤波器以产生一组抵消信号。由于我们感兴趣的只是均衡信号在一些预检测时间点上的采样值，所以均衡滤波器的设计是一个简单的任务。

图3.21 失真的接收脉冲

  图 3.22 是一种最常用而且调节简便的横向滤波器，它包含一条每隔 $T$ 秒（ $T$ 为码元间隔）抽头的延时线。在这样一个均衡器中，接收信号的过去值和现在值是均衡器系数（抽头系数） $\left\{ c_n \right\}$ 的线性加权，均衡器的输出是这些值之和。对输出作用最大的是中间的抽头，其余的抽头将主瓣的反射波叠加到主瓣的两侧。如果滤波器有无穷多个抽头，适当选择抽头系数可以强迫冲激响应仅在一个采样点上非零，这样 $H_e\left( f \right)$ 就恰好等于信道传输函数的倒数。尽管无限长滤波器是不可实现的，但可以设计逼近理想情况的实际滤波器。

图3.22 横向滤波器

  图 3.22 中，各个抽头的输出信号加权求和后输入判决装置。接下来选择抽头系数 $\left\{ c_n \right\}$ 以便及时抵消相邻码元带来的码间串扰，获得期望码元。假设有 $\left( 2N+1 \right)$ 个抽头，其系数分别为 $c_{-N},c_{-N+1},\cdots ,c_N$。均衡器的输出信号采样 $\left\{ z\left( k \right) \right\}$ 等于输入信号的采样序列 $\left\{ x\left( k \right) \right\}$ 与抽头系数序列 $\left\{ c_n \right\}$ 的卷积，表示如下：
$z\left( k \right) =\sum_{n=-N}^N{x\left( k-n \right) c_n};\quad k=-2N,\cdots ,2N;\quad n=-N,\cdots ,N$其中， $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ 是时间标识（取值范围可为无穷大）。标识 $n$ 用于表示时间偏移和滤波器系数的标识符（滤波器的地址），当用于后者时， $n$ 是以下标形式出现的。矢量 $\mathbf{z}$、 $\mathbf{c}$ 和矩阵 $\mathbf{x}$ 的定义为
$\mathbf{z}=\left[ \begin{array}{c} z\left( -2N \right)\\ \vdots\\ z\left( 0 \right)\\ \vdots\\ z\left( 2N \right)\\ \end{array} \right] ,\mathbf{c}=\left[ \begin{array}{c} c_{-N}\\ \vdots\\ c_0\\ \vdots\\ c_N\\ \end{array} \right]$ $\mathbf{x}=\left[ \begin{matrix} x\left( -N \right)& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ x\left( -N+1 \right)& x\left( -N \right)& 0& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ x\left( N \right)& x\left( N-1 \right)& x\left( N-2 \right)& \cdots& x\left( -N+1 \right)& x\left( -N \right)\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 0& 0& 0& \cdots& x\left( N \right)& x\left( N-1 \right)\\ 0& 0& 0& \cdots& 0& x\left( N \right)\\ \end{matrix} \right]$可以将 $\left\{ z\left( k \right) \right\}$、 $\left\{ x\left( k \right) \right\}$ 和 $\left\{ c_n \right\}$ 之间的关系简化为
$\mathbf{z}=\mathbf{xc}$若 $\mathbf{x}$ 是方阵，其行向量、列向量的维数都等千矢量 $\mathbf{c}$ 中的元素个数。由下列矩阵方程可解得 $\mathbf{c}$：
$\mathbf{c}=\mathbf{x}^{-1}\mathbf{z}$  注意，由于可能需要分析远离脉冲主瓣的某个采样点上的码间串扰，所以矢量 $\mathbf{z}$ 的维数和 $\mathbf{x}$ 的列数可取任意值。结合 $\mathbf{x}$ 的定义，可知均衡器的输出采信号样信号 $\left\{ z\left( k \right) \right\}$ 中的标识 $k$ 的范围为 $4N+1$ 个采样点。矢量 $\mathbf{z}$ 和 $\mathbf{c}$ 的维数分别为 $4N+ 1$ 和 $2N+ 1$， $\mathbf{x}$ 不再是方阵而是 $\left( 4N+1 \right) \times \left( 2N+1 \right)$ 矩阵。这样的方程组称为超定方程组，即方程数目大于未知量个数。这种方程组的解法有两种： 一种是确定性方法， 称为迫零法（zero-forcing）；另一种是统计方法，称为最小均方误差法。

4.3.1.1 迫零法

  首先截去矩阵 $\mathbf{x}$ 定义中的前 $N$ 行和后 $N$ 行，将矩阵 $\mathbf{x}$ 变为 $2N + 1$ 阶方阵，因而矢量 $\mathbf{z}$ 变为 $2N+1$ 维，代入 $\mathbf{z}=\mathbf{xc}$ 得到 $2N + 1$ 个方程联立的确定性方程组。迫零法通过选择 $\left\{ c_n \right\}$ 的加权，最小化码间串扰失真的峰值，以迫使均衡器的输出信号在期望脉冲两侧的各 $N$ 个采样值为零。换言之，就是选择抽头系数使下列表达式成立：
$z\left( k \right) =\begin{cases}\begin{aligned} &1,&&k=0\\ &0,&&k=\pm 1,\pm 2,\cdots ,\pm N\\ \end{aligned}\end{cases}$利用 $\mathbf{c}=\mathbf{x}^{-1}\mathbf{z}$ 求解 $2N+ 1$ 个联立方程，得到 $2N +1$ 个抽头系数 $\left\{ c_n \right\}$。滤波器的长度（抽头系数的个数）取决于信道产生干扰的程度。对于有限长的横向滤波器，初始时刻眼图必须是张开的，这样才能保证均衡器可以获得最小的峰值失真。但是，对于高速传输和信道引起的码间串扰相当大的情况，均衡前“眼睛”通常是闭合的。由于迫零均衡器忽略了噪声的影响，所以得到的解并不总是最优的。

4.3.1.2 最小 MSE 法

  通过最小化均方误差（MSE）（该误差是由所有的码间串扰和噪声引起的）求出抽头系数 $\left\{ c_n \right\}$，可以构造鲁棒性（robust）更强的均衡器。均方误差定义为期望数据码元与估计数据码元差之平方的数学期望。为得到最小均方误差的解，将 $\mathbf{z}=\mathbf{xc}$ 两边同乘以 $\mathbf{x}^\text{T}$ 得
$\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{z}=\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{xc}$及
$\mathbf{R}_{xz}=\mathbf{R}_{xx}\mathbf{c}$其中， $\mathbf{R}_{xz}=\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{z}$ 称为互相关矢量， $\mathbf{R}_{xx}=\mathbf{x}^{\text{T}}\mathbf{x}$ 称为输入含噪信号的自相关矩阵。实际上， $\mathbf{R}_{xz}$ 和 $\mathbf{R}_{xx}$ 都是未知量，但是可以通过发送一个测试信号，取时间平均值作为近似估计值，然后由 $\mathbf{R}_{xz}=\mathbf{R}_{xx}\mathbf{c}$ 得到抽头系数：
$\mathbf{c}=\mathbf{R}_{xx}^{-1}\mathbf{R}_{xz}$在求确定性迫零解时，矩阵 $\mathbf{x}$ 必须是方阵。但是求解最小均方误差（统计意义上的）解， 则允许矩阵 $\mathbf{x}$ 不是方阵，可以求解一个超定方程组。通过一些运算将矩阵 $\mathbf{x}$ 变型为自相关矩阵 $\mathbf{R}_{xx}$，得到一个含有 $2N+ 1$ 个方程的联立方程组。方程组的解就是最小均方误差准则下的抽头系数。矢量 $\mathbf{c}$ 的元素个数和矩阵 $\mathbf{x}$ 的列数都等于均衡滤波器中抽头的个数。大多数的高速电话线调制解调器都采用均方误差准则，因为它的性能优于迫零法，并且在有噪声和大码间串扰的情况下鲁棒性更强。

4.3.2 反馈判决均衡器

  线性均衡器（如横向滤波器）的重大局限是，对于存在零点频谱的信道，其作用效果很差。无线移动通信信道通常就是这类信道。反馈判决均衡器（DFE）是一种非线性均衡器，它利用先前码元的判决结果来消除当前码元的码间串扰。消除的码间串扰是先前码元的旁瓣引起的；从效果上看，由先前脉冲引起的当前码元失真是减少的。

图3.23 判决反馈均衡器

  如图 3.23 所示是一个反馈判决均衡器的简图，其中的前馈滤波器和反馈滤波器是线性滤波器（如横向均衡器）；该图还表示出了抽头系数的自适应变化方法（详见下一节）。反馈滤波器的输入信号是检测器的输出，反馈判决均衡器的非线性源于检测器的非线性。反馈判决均衡器的基本思想是： 如果已知先前码元的检测结果（假设过去的判决是正确的），则前馈滤波器的输出减去这些值的加权求和，就完全消除了由这些码元引起的码间串扰。在某种准则（如最小化MSE ) 下， 可以实时地调整前馈滤波器和反馈滤波器的抽头系数。

  当只有前馈滤波器时，滤波器的输出信号中包含来自采样点的信道噪声。反馈判决均衡器的一个优点是，它的输出信号中不包含信道噪声，因为反馈滤波器的输入信号不含噪声的量化电平。

4.4 预置式均衡与自适应均衡

  对于频率响应已知的时不变信道，可以衡量信道特性并据此确定抽头系数。如果在传输过程中抽头系数固定，这种均衡器称为预置式均衡器。预置式均衡的一个简单实现方法是根据信道的统计平均特性确定抽头系数，这适用于信息传输速率小于 $2\ 400\text{ b/s}$ 的音频电话系统。另一种预置式均衡方法是发送一个训练序列，在接收端与本地产生序列进行比较，根据二者的差值设置 $\left\{ c_n \right\}$。预置式的这两种方法必须在信号传输的起始时刻设置 $\left\{ c_n \right\}$（如果传输中断则必须重置）。

  另一种类型的均衡可以适应缓慢时变的信道，称为自适应（adaptive）均衡。自适应均衡又可分为周期调整和连续调整两种方式。周期调整是通过周期地发送报头（前同步序列）或接收机已知的数字训练序列来实现的。接收机还可以用报头检测信号传输的起始时刻，设置自动增益控制（AGC）电平，并使得内部时钟、本振信号与发送信号同步。连续调整是用均衡器的输出序列代替已知信号作为训练序列，这种自适应过程（最常用）称为直接判决（decision directed）。注意，不要混淆“直接判决”和“反馈判决”（DFE）。直接判决只说明滤波器的系数是如何调整的，即利用检测输出信号；而反馈判决指判决过程中存在一个附加滤波器，它将检测器的输出信号递归反馈到检测器的输入端。由此可见，在反馈判决的信号处理流程中有两个滤波器，即前馈滤波器和反馈滤波器，用以消除码间串扰。

  预置式均衡的缺点是，在每次新的传输开始时刻都需要有起始训练阶段，而且由于抽头系数是固定的，因此对于时变信道会因为码间串扰而导致系统性能的降低。当初始误差概率小于 $1 \%$ 时，自适应均衡，特别是直接判决自适应均衡能够成功地消除码间串扰（经验法则）。如果误差概率大于 $1 \%$，直接判决均衡器有可能会发散。解决这个问题的一个常用方法是，先用其他模式初始化均衡器，例如用一个报头初始化系统（它可以提供好的差错性能），然后再转向直接判决模式。为了避免发送前同步码元等辅助操作，许多连续广播模式的系统用模糊均衡（blind equalization）算法做初始信道估计。这些算法根据样本统计掀而不是采样判决来调整滤波器的系数。

  自适应均衡器用迭代技术估算最佳系数。 $\mathbf{z=xc}$ 给出的联立方程组不包括信道噪声的影响。为了得到滤波器系数的稳定解，需要对数据取均值以得到稳定的信号统计量，或者对含噪数据取平均以得到含噪解。考虑到算法的复杂度和数值的稳定性，通常采用平均含噪算法。最小均方（LMS）算法是这类算法中鲁棒性最好的一种。这种算法的每一次递归都是利用误差梯度的含噪估计值调整滤波器的系数，从而减小均方误差。含噪梯度简单地表示为标量 $e\left(k\right)$ 和矢量 $\mathbf{r}_x$ 的乘积，矢量 $\mathbf{r}_x$ 是 $k$ 时刻均衡滤波器的含噪声输入信号对应的矢量。发送端发送一个冲激信号，均衡滤波器的输入信号是代表信道冲激响应的一个样本序列（矢量） 。将接收信号的采样点（以时移方式）描述为矩阵 $\mathbf{x}$。现在不需要考虑冲激响应，而只需分析数据发送以及接收信号矢量（滤波器的输入矢量） $\mathbf{r}_x$（如图 3.23）代表的信道数据响应即可。误差信号等于期望输出信号和滤波器实际输出信号的差值：
$e\left( k \right) =z\left( k \right) -\hat{z}\left( k \right)$其中， $z\left( k \right)$ 是期望输出信号（无 ISI 的采样点）； $\hat{z}\left( k \right)$ 是滤波器实际输出信号在 $k$ 时刻的 $z\left( k \right)$ 估计值（图 3.23 中量化器的输入信号），可以表示为
$\hat{z}\left( k \right) =\mathbf{c}^{\text{T}}\mathbf{r}_x=\sum_{n=-N}^N{x\left( k-n \right) c_n}$式中，和式表示输人信号的采样与 $\left\{ c_n \right\}$ 的卷积。其中， $c_n$ 是 $k$ 时刻的第 $n$ 个抽头系数； $\mathbf{c}^{\text{T}}$ 是 $k$ 时刻的权矢量的转置。下面给出在任意 $k$ 时刻更新抽头系数的迭代公式：
$\mathbf{c}\left( k+1 \right) =\mathbf{c}\left( k \right) +\Delta e\left( k \right) \mathbf{r}_x$其中， $\mathbf{c}\left( k \right)$ 是 $k$ 时刻滤波器的系数矢量； $\Delta$ 是一个极小量，用以限定系数更新的步长， 从而控制算法的收敛速率和稳态解的方差。这个简单关系式是根据正交性原理推导而来的。正交性原理是指：最优解对应的误差与数据正交。因为这是一种递归（对系数）算法，所以必须要注意到算法的稳定性。如果参数 $\Delta$ 小于千滤波器中数据能量的倒数，则能够保证算法的稳定性。当算法稳定时，它在均值意义上收敛于最优解，最优解的方差与 $\Delta$ 成正比。由此可见，在算法稳定的条件下， $\Delta$ 增大则收敛速度加快， $\Delta$ 减小则最优解的方差减小。为了得到一个方差较小、状态稳定的抽头系数解，通常把 $\Delta$ 固定为某一个比较小的值。有些方案允许 $\Delta$ 在初始阶段取值较大，然后逐渐减小以保证得到稳态解。

  注意，本节的各表达式都是以实信号形式描述的。如果将接收机设置为正交方式，信号的实部和虚部（同相分量和正交分量） 成对出现，那么图 3.23 的每条线实际上包含两条线，并且本节的各表达式要用复数形式表示。

4.5 滤波器更新率

  根据输入信号的采样速度也可划分均衡滤波器。如果横向均衡器的相邻抽头时间延迟等于 $T$（ $T$ 为码元间隔），则称为码元速率均衡器。若均衡器的输出信号带宽不严格限制在 $1/T$，那么以 $1/T$ 的速率采样会引起混迭现象， 即频谱间隔为 $1/T$ 的频谱分批相互重叠。信号的频谱混迭模型可能会出现频谱零点。以超过码元速率的速率采样就能解决这个问题。采用这种技术的均衡器称为分数间隔均衡器（FSE）。FSE 的抽头时间间隔满足
$T^{'}\leqslant \frac{T}{1+r}$其中， $r$ 表示超量带宽。换言之，接收信号带宽应满足
$W^{'}\leqslant\frac{1+r}{T}$目标是选择 $T^{'}$ 使均衡器的传输函数 $H_e\left( f \right)$ 的带宽可容纳整个信号频谱。注意，对均衡器输出信号的采样速率仍是 $1/T$，但因为抽头的时间间隔为 $T^{'}$（均衡器输入信号的采样速率是 $1/T^{'}$），所以均衡作用于频率分量发生混迭前的接收信号。在音频电话线上的仿真实验证明，若取 $T^{'}= T/2$，分数间隔均衡器的性能优于码元间隔均衡器。

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5. 小结

  本文论述了含加性高斯白噪声的二进制信号的检测过程，包含两个基本步骤。第一步，将接收波形转换为一个独立数值 $z\left( T \right)$；第二步，比较 $z\left( T \right)$ 与门限值，并且判断发送信号。本文讨论了如何选择最佳门限值的问题，还证明了采用线性滤波器（即匹配滤波器或相关器）可以获得最大信噪比，从而最小化差错概率。

  本文定义了码间串扰（ISI）的概念，阐述了奈奎斯特关于无码间串扰码元检测的最小理论带觅差错性能的降低有两种情况， 一种是信噪比的损失，另一种是由于码元失真而使差错概率和 $E_b/N_0$ 的关系曲线出现一个极小点。本文最后讨论了能够消除码间串扰的均衡技术。