数30

昨天看了向往的生活第四季小岳岳那期玩了个游戏，叫数30。游戏有两个人玩，一个人最多可以数两个数，数到30的人算输。当时觉得这个游戏应该有必胜的方法，后来想了想，确实有些规律。

数30

为了好推导，我将游戏用数学化公式表达。数到n能赢表示1，会输表示0。例如f(30)=0，f(29)=1。

f(30)=0好理解，那么f(29)=1呢，因为当你数到29，对方一定会数30，对方就输了，所以当你数到29时是一定会赢的。
那么f(28)等于多少呢？当你数28时，对面可以数29，而f(29)=1，因此对面赢了，可知f(28)=0。
注意，f(n)=1指的是存在特定的方法使你一定获胜，而并非无论怎样你都能获胜；同样值为0表示对面有特定的方法让你一定输，而并非无论如何你都会输。比如当你数28时，对面可以数29，也可以数29、30。但是对面一定有一种方法让你输，那就是数29。
现在我们知道f(30)=0, f(29)=1, f(28)=0。那么当你数27时，对方可以数28或者28、29，我们知道f(29)=1，因此只要对方数到29，你一定会输，f(27)=0。
由此我们可以得出一些规律了，要考虑f(n)的值为1还是0，只要考虑是否能在下两步是否能达到1，即f(n+1)=1或者f(n)=1。若两者存在一个成立，那么对面就能赢，f(n)=0，否则f(n)=1。
至此可以推出，值为1的步数为：29，26，23，20，17，14，11，8，5，2。只要你抢到其中某一个节点，你都能数这些数字获胜。当然如果双方都知道这个规律，那么谁先数，谁获胜（先数的人可以数1、2，抢到2之后再按照5、8、11…这个规律数下去就一定能赢）。

数 $N$

考虑一般情况，每个人最多数 $m$ 个数，数到 $N$ 的人算输，是不是先数的人一定会赢呢？

由上面的推论易知， $f(N)=0$ ， $f(N-1)$ =1
考虑数 $n$ 时，如果在 $m$ 步以内可以达到 $f(n+i)=1, i\in[1,m]$ ，那么对方赢， $f(n)=0$ 。由此可见，在 $N-1$ 之前的 $m$ 步，都为 $0$ ，之前的第 $m+1$ 步，即 $f((N-1)-(m+1))$ 为1。同理，第 $(N-1)-(m+1)$ 步之前的第 $m+1$ 步为1。这样就形成了周期为 $m+1$ 的循环。
至此我们有了两个结论，1. $f(N-1)=1$ ，2. $f$ 是一个周期为 $m+1$ 的函数。
根据第3点的结论，我们就可以找到必胜的方法了。只要知道第一个值为1的 $n$ ，下面只要以 $m+1$ 的周期数下去就好了（为什么一定能数到，大家可以自己想一下）。
如何找到第一个值为1的 $n$ 呢？也很简单，直接给出结论吧
$n=(N-1)\%(m+1)$ 其中 $\%$ 表示取余。如果 $n=0$ ，那么取第一个数为 $m+1$ 就好了。
回到最初的问题，是不是所有情况先手就能赢呢？答案是否定的。回到上面的式子，如果 $n=0$ ，那么第一个值为1的数是 $m+1$ ，你无论如何都抢不到这个数(因为最多只能数到 $m$ )，而会被对面抢到，这样你就输了。

代码

goal = 30
step = 2

value = [0] * (step - 1) + [0, 1]
for i in range(goal - 2, 0, -1):
  if 1 in value[-1:-(step + 1):-1]:
    value.append(0)
  else:
    value.append(1)
value = value[:(step-2):-1]
for i, v in enumerate(value):
  print("{}: {}".format(i + 1, v))

结果

数30游戏的一些思考

数30

数30

数 $N$

代码

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数 N N N

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